Verwenden Sie für Einsetzungs- und Additionsverfahren dasselbe lineare Gleichungssystem. Richten Sie einander entsprechende Umformungen aneinander aus, fragen Sie, was invariant bleibt, und ändern Sie anschließend die Gleichungen, sodass Lernende ihre Verfahrenswahl begründen müssen.
Ziel ist nicht, ein Verfahren zum Sieger zu erklären. Ein Verfahren kann aufgrund der Struktur eines bestimmten Gleichungspaars zweckmäßig sein oder eine mathematische Beziehung besonders deutlich zeigen. Lassen Sie Lernende gelöste Aufgaben untersuchen, Strategien vergleichen und die ausgearbeiteten Beispiele mit einer neuen Aufgabe verbinden.
Verwenden Sie Gleichungspaare, für die beide Verfahren gültig sind, und legen Sie vor der Unterrichtsstunde die akzeptierte Notation fest.
[1]Zwei gültige Verfahren zeigen dieselbe Struktur
Lösen Sie y = x + 2 und 2x + y = 11. Kein Verfahren ist allgemein das beste.
Einsetzungsverfahren
- 1y durch x + 2 ersetzen
2x + (x + 2) = 11
- 2Äquivalente Terme zusammenfassen
3x + 2 = 11
- 3Gleichheit erhalten und lösen
3x = 9 → x = 3
- Beide Gleichungen prüfen
y = 5; 5 = 3 + 2; 6 + 5 = 11
Additionsverfahren
- 1Beide Gleichungen zum Kombinieren notieren
−x + y = 2; 2x + y = 11
- 2Die erste von der zweiten Gleichung subtrahieren
3x = 9
- 3Lösen und anschließend einsetzen
x = 3 → y = 5
- Beide Gleichungen prüfen
5 = 3 + 2; 6 + 5 = 11
Erstellen Sie zwei aufeinander abgestimmte Lösungswege
Wählen Sie ein altersgerechtes Gleichungspaar, für das sowohl Einsetzungs- als auch Additionsverfahren gültig sind. Stellen Sie die Gleichungen in Praktikal mit Formelinhalten dar und verwenden Sie mathematische Lückentext-, Sortier- oder geschlossene Zahlenfragen für sorgfältig ausgewählte fehlende Schritte.
Machen Sie nicht jede Zeile zur Lücke. Lassen Sie genug von beiden Lösungen sichtbar, damit Lernende die Strategie untersuchen können, und lassen Sie sie zugleich eine bedeutsame Umformung selbst ergänzen.
- Entscheidung der Lehrkraft
- entscheiden Sie vor der Wahl des nächsten Beispiels, ob eine falsche Antwort auf die Notation, die Arithmetik oder die gewählte Umformung zurückgeht.
- Aktivität der Lernenden
- die Schritte vervollständigen oder ordnen und anschließend erkennen, wo jedes Verfahren erstmals eine Gleichung nutzt, um die andere umzuformen oder mit ihr zu kombinieren.
Ordnen Sie einander zu, was gleich bleibt
Stellen Sie die beiden Lösungen nebeneinander. Lassen Sie Lernende einander entsprechende mathematische Schritte zuordnen: Gleichheit erhalten, einen Ausdruck durch einen äquivalenten ersetzen, eine Variable eliminieren und die Lösung prüfen.
Praktikal bietet Formel-, Zuordnungs-, Gruppierungs- und Sortierblöcke. Legen Sie die Zuordnungsoptionen so fest, dass äquivalente Formen nicht allein wegen einer anderen Schreibweise abgelehnt werden.
Stellen Sie zwei Fragen:
- Was bleibt bei beiden Verfahren invariant?
- Was lässt diese Darstellung leichter erkennen?
Der Vergleich alternativer Strategien wird in Leitfäden zum Algebraunterricht unterstützt, muss aber gezielt angeregt werden. Zwei Spalten allein genügen nicht.
[1]Vergleichen Sie Erklärungen, nicht nur Antworten
Sammeln Sie nach der Zuordnungsaufgabe eine kurze Erklärung. Bei der Live-Durchführung zeigt Praktikal Antworten und Bearbeitungsstand. Formulieren Sie zwei gegensätzliche Erklärungen für die Diskussion um oder anonymisieren Sie sie.
Die Plattform kann Antworten zusammenführen. Sie benennt weder das Verfahren noch leitet sie den Gedankengang ab oder entscheidet, welche Erklärung die Lerngruppe benötigt. Auch eine richtige Lösung kann auf einem nur oberflächlich nachgeahmten Muster beruhen.
- Entscheidung der Lehrkraft
- modellieren Sie eine Umformung, wenn die Erklärungen Gleichheit missverstehen; vergleichen Sie die beiden Erklärungen, wenn sie aus unterschiedlichen Gründen zum selben Ergebnis führen; fahren Sie erst fort, wenn Lernende ein strukturelles Merkmal benennen können.
Ändern Sie die Gleichungen, bevor Sie nach einem Verfahren fragen
Stellen Sie ein neues Gleichungspaar mit anderen strukturellen Merkmalen vor. Lassen Sie Lernende das Einsetzungs- oder Additionsverfahren wählen und die Wahl mit Merkmalen begründen, die sie in den Gleichungen erkennen.
Verwenden Sie für die Auswahl eine geschlossene Frage und für die Begründung eine getrennte Kurzantwort. Die automatische Bepunktung gilt nur für den geschlossenen Teil. Prüfen Sie den schriftlichen Gedankengang selbst. Praktikal bewertet mathematische Argumentationen oder Beweise nicht automatisch.
Vermeiden Sie die Frage „Welches Verfahren ist das beste?“. Fragen Sie stattdessen:
- Mit welchem Verfahren würden Sie hier beginnen?
- Welches Merkmal des Gleichungspaars stützt Ihre Wahl?
- Was würde das andere Verfahren sinnvoll machen?
Die Wahl des Verfahrens hängt von der Aufgabe ab. Diese Erkenntnisse beziehen sich auf Algebra und begründen keine Regel für die gesamte Mathematik.
[1]Lösen Sie erneut und nutzen Sie den Lösungsweg
Lassen Sie Lernende das gewählte Verfahren an einem weiteren Gleichungspaar ausführen. Verwenden Sie strukturierte geschlossene Schritte für den automatisch bepunkteten Teil und eine kurze Erklärung zu einer entscheidenden Umformung.
Prüfen Sie den Lösungsweg, geben Sie Feedback und entscheiden Sie, ob die nächste Unterrichtsstunde Äquivalenz, Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Probe erneut aufgreifen sollte.
Eine erfolgreiche Lösung ist ein Beleg für diese Aufgabe. Sie beweist keinen dauerhaften Transfer.
[1] [2]Quellenhinweise
„Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students“ Systematischer Praxisleitfaden für Algebra in der Mittel- und Oberstufe. Er unterstützt das Untersuchen gelöster Aufgaben, den Vergleich gültiger Strategien und die Verbindung ausgearbeiteter Beispiele mit neuen Aufgaben. Er belegt weder automatischen Transfer noch ein allgemein bestes Verfahren.
„Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3“ Öffentlich zugängliche Zusammenfassung eines Leitfadens, die hier nur für die vorsichtige Einordnung der formativen Bewertung verwendet wird. Eine Verfahrenswahl mit Begründung kann die nächste didaktische Entscheidung beeinflussen, doch eine einzelne Antwort zeigt weder den vollständigen Gedankengang noch dauerhaften Transfer.