Mehaanika: dünaamika, perioodilised liikumised

Public materials

Eessõna

Dünaamika

1.2

Vastastikmõju ja selle kirjeldamine

1.3

Resultantjõud ja Newtoni esimene seadus

1.4

Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

1.5

Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

1.6

Keha impulss ja impulsi jäävuse seadus

1.7

Reaktiivliikumine

1.8

Gravitatsioonijõud ja gravitatsiooniseadus

1.9

Raskusjõud, kaal ja kaalutus

1.10

Gravitatsioon ja ilmaruum

1.11

Rõhumisjõud, rõhk ja toereaktsioon

1.12

Hõõrdejõud

1.13

Elastsusjõud

1.14

Dünaamika – lõpetuseks

Töö ja energia

2.2

Mehaaniline töö

2.3

Võimsus

2.4

Mehaaniline energia. Energia mõiste

2.5

Mehaanilise energia muundumine ja ülekandumine

2.6

Mehaanilise energia jäävuse seadus

2.7

Energia jäävus looduses ja tehnikas

2.8

Töö ja energia – lõpetuseks

Ringliikumine ja võnkumised

3.2

Ühtlane ringjooneline liikumine

3.3

Ühtlase ringliikumise joonkiirus ja nurkkiirus

3.4

Ühtlase ringjoonelise liikumise kesktõmbekiirendus

3.5

Ringliikumine looduses ja tehnikas

3.6

Võnkumised

3.7

Harmooniline võnkumine. Võnkumise võrrand ja graafik

3.8

Pendlid

3.9

Võnkumised looduses ja tehnikas

3.10

Lained

3.11

Laineid iseloomustavad suurused

3.12

Lainetega seotud nähtused

3.13

Lained looduses ja tehnikas

3.14

Ringliikumine ja võnkumised – lõpetuseks

Mehaanika: dünaamika, perioodilised liikumised

Käesoleva õpiku materjal pärineb enamjaolt Indrek Peili 2010. a ilmunud õpikust „Mehaanika”. Uues, Indrek Peili koostatud redaktsioonis on materjal, mis kuulub 2014. a jõustunud riikliku õppekava järgi gümnaasiumi teise kursusesse (mehaanika). Põhiline erinevus eelneva versiooniga on see, et I peatükk („Kinemaatika”) on nüüd I kursuse õpikus („Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika”). Lisandunud on ka mõned uued alajaotused.

Õpiku tekstis on terminid tähistatud paksu kirjaga, tähtsad laused kirjutatud punasega. Lõigud, mis on mõeldud täiendavaks lugemiseks, on kirjutatud sinisega.

Impressum

Autor: Indrek Peil
Toimetaja: Kaido Reivelt
Arvutigraafika: Nils Austa
Kasse joonistab Urmas Nemvalts

Täname!
Piret Kuusk
Laur Järv

Dr John Stapp, New Mexicos asuva Hollomani õhujõudude baasi kolonel, kinnitati 1954. aasta detsembris rihmadega üheksa raketiga rakettkelgu istmele. Kui raketid süüdati, kiirendas see teda viie sekundi jooksul kiiruseni 632 miili ehk 1018 kilomeetrit tunnis. Tõsisem katsumus kolonel Stappi jaoks oli siiski pidurdamine vesipiduritega, milleks kulus vaid 1,4 sekundit. 1958. aasta mais saavutas Eli L. Beeding jr sarnase kelguga kiiruse 72,5 miili (117 kilomeetrit) tunnis. Tema kiirus polnud küll märkimisväärne – see on maanteedel suhteliselt tavaline –, kuid märkimist väärib peatumiseks kulunud aeg, 0,04 sekundit, mis on sõna otseses mõttes vähem kui silmapilk.

Kolonel J. P. Stapp rakettkelgul, kui see saavutab suure kiiruse ...

... mida siis väga järsult pidurdatakse. (USA Õhujõudude foto).

Lugu sellest, kuidas Murphy seadused alguse said

Kass küsib, miks on Apollo missioon erakordne

Kui päästerõngas vee alla suruda, tõukab vesi selle pinnale tagasi. Tuul puhub purje pingule ning paneb jahi mööda veepinda liikuma. Riputatud koormise toimel venib vedru pikemaks. Tõstja sikutab raske kangi maast lahti. Udusulg hõljub õhus ega kuku maha. Pärast kammimist hakkab kamm juukseid ligi tõmbama. Sepavasara löök painutab kuuma raudlati kõveraks.

Vastastikmõjud on väga erinevad.

Click to play video

Vastastikmõjud ahelmasinas.

Selliseid näiteid võib tuua väga palju. Need on küll kõik väga erinevad, kuid ühes siiski sarnased – ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul. Neid näiteid ühendab nähtus, mida nimetatakse vastastikmõjuks.

Mille järgi tunneme ära, et vastastikmõju on aset leidnud? Kui üks keha mõjutab teist, siis selle tagajärjel toimub mingi muutus. Siin on mitu võimalust – vastastikmõju tagajärjel võib muutuda keha kuju, ruumala või liikumise iseloom.

Vastastikmõju tagajärjel võib muutuda keha liikumise iseloom.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha kuju.

Näiteks muutub õhupalli kuju, kui me selle täis puhume, ja muutub ka kristallvaasi kuju, mis maha pillatakse. Alati ei pruugi me kujumuutust märgatagi. Kui me trepile astume, ei näi midagi erilist juhtuvat.

Liikumise juures saab vastastikmõju muuta kiiruse arvväärtust ja suunda. Kui tahame auto kiirust vähendada, kasutame kummide ja teekatte vahelist pidurdavat mõju. Kiiruse väärtus muutub Maa külgetõmbe tõttu näiteks ülesvisatud pallil. Algul see väheneb, siis pall peatub hetkeks ning allakukkumisel hakkab kiirus jälle kasvama. Viimases näites muutub ka palli liikumise suund.

Kui auto suure kiirusega kurvi siseneb, siis libeda korral ei pruugi ta teel püsida. Kurvis püsimiseks peab rataste ja teekatte vahel olema piisava tugevusega vastastikmõju, et liikumise suund selle tagajärjel vajalikul määral muutuks.

Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha liikumise iseloom. Et liikumise muutumise põhjusi uurib mehaanika haru dünaamika, siis ongi vastastikmõju dünaamika jaoks üks olulisemaid nähtusi.

Ühegi keha liikumist ei saa muuta ilma teise keha mõjuta. Näiteks ei saa paati seisvas vees liikuma panna, kui pole tuult ega aere. Ka auto ei saaks paigalt sõita, kui puuduks teine keha, millelt end liikuma tõugata (teekate). Vastastikmõjus osaleb alati vähemalt kaks keha.

Vastastikmõjud võivad olla erineva tugevusega. Seda näeme tagajärje suuruse järgi. Erinevad raskused venitavad sama vedru erineva pikkuse võrra ja tugevam mängija suudab pallile anda suurema hoo.

Et vastastikmõjusid omavahel võrrelda ja uurida, mil määral sõltuvad tagajärjed vastastikmõju tugevusest, on kasutusele võetud füüsikaline suurus jõud.

Jõud on vastastikmõju mõõduks ja selle arvväärtus iseloomustab vastastikmõju tugevust. Vastastikmõju põhjustab kas keha kuju või kiiruse muutuse. Kuna nii kujumuutusel kui ka kiiruse muutumisel (kiirendusel) on kindel suund, siis peab ka jõud olema suunaga. Järelikult on jõud vektoriaalne suurus.

Jõu tähiseks valemites ja joonistel on $\vec F$ (ld fortis 'tugev, võimas'). Jõu arvulise väärtuse väljendamisel, kui suund pole oluline, kasutatakse ilma vektorimärgita tähist $F$ .

Jõu mõõtmiseks on kaks põhimõtteliselt erinevat võimalust. Võib mõõta vastastikmõju poolt tingitud kujumuutuse ehk deformatsiooni suurust. Näiteks meile tuttav dünamomeeter näitab jõu suurust vedru pikenemise kaudu.

Jõudu saab mõõta selle poolt tekitatud deformatsiooni ja kiirenduse kaudu.

Jõud 1 N annab 1 kg massiga kehale kiirenduse 1 m/s², kui hõõrdumist ei arvestata.

Teiseks saab jõu suurust arvutada selle kaudu, kui palju vastastikmõju tuntud massiga keha kiirust muudab ehk siis mõju poolt antava kiirenduse kaudu.

Klassikalise mehaanika rajaja Isaac Newtoni auks on SI jõu mõõtühiku nimeks võetud njuuton (N). Üks njuuton on sellise suurusega jõud, mis annab kehale massiga $1 \text{kg}$ kiirenduse $1 \text m/\text s^2$ .

Vastastikmõju

Kui ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul, siis nimetatakse seda vastastikmõjuks. Vastastikmõju tagajärjel võib muutuda keha kuju, ruumala või liikumise iseloom

Jõud

Jõud on vastastikmõju mõõduks ja selle arvväärtus iseloomustab vastastikmõju tugevust.

Milliste kehade vahelisest vastastikmõjust ning millistest tagajärgedest saab rääkida nendes näidetes: a) küttepuude lõhkumine; b) pillatud vaasi maandumine; c) korvi punumine; d) sõit karussellil; e) tennisepalli lend?

Solution

Too näiteid, kus vastastikmõju tagajärjel muutub a) mõlema keha kiirus; b) ühe keha kiirus ja teise kuju.

Solution

Too näiteid kehade vahel mõjuvatest jõududest. Kuidas need jõud suunatud on?

Solution

See, et vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha, ei tähenda, et kehasid ei võiks rohkem olla. Tihti ongi just nii, et korraga mõjub mitu jõudu. Korraga kehale mõjuval mitmel jõul ei ole aga siiski mitut erinevat tagajärge. Näiteks kui vees ujuvale õngekorgile mõjuv raskusjõud on suunatud alla ja samal ajal vee üleslükkejõud üles, ei hakka kork ju korraga mõlemas suunas liikuma. Jõud liituvad ning nende mõjul on üks ühine tagajärg – kork püsib paigal. Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks.

Kuna jõud on suunaga suurused, ei saa neid liita niisama lihtsalt kui arve. Jõudude liitmisel tuleb järgida vektorite liitmise reegleid. Et jutt on samale kehale mõjuvate jõudude liitmisest, siis joonisele kandmisel peavad need algama kõik samast punktist. Kulgeva liikumise korral, mil pöörlemist ei toimu, kujutame keha ette punktmassina.

Samasihiliste jõudude liitmisel nende väärtused kas liidetakse või lahutatakse.

Kõige lihtsam on leida kahe samasuunalise jõu summat. Samasuunaliste jõudude arvväärtused liituvad ning resultantjõud on liidetavate jõududega samas suunas.

Vastassuunaliste jõudude liitmisel lahutatakse suurema väärtusest väiksem ning resultantjõud jääb suurema jõu suunaliseks.

Erisuunaliste jõudude liitmise lihtsaim viis on kasutada rööpküliku reeglit. Selle järgi tuleb liidetavatele jõuvektoritele üles ehitada rööpkülik ning viimase diagonaal ongi resultantjõuks.

Erisuunaliste jõudude liitmimine rööpküliku reegli järgi.

Kui kehale mõjuvad jõud on üksteisega tasakaalus, siis öeldakse, et need jõud kompenseerivad üksteist. Sel korral keha liikumisolek ei muutu.

Kui kehale mõjub suurem arv jõude, tuleb esmalt summeerida kaks jõudu ning tulemusele liita samm-sammult ülejäänud.

Sageli tuleb ette, et kehale mõjuvate jõudude resultant on null. Siis öeldakse, et jõud on tasakaalus ehk kompenseerivad üksteist. Näiteks laual seisvale õmblusmasinale mõjuvat Maa külgetõmmet tasakaalustab laua vastumõju, mis ei luba masinal sellest läbi kukkuda. Need kompenseerunud jõud liikumist ei mõjuta ja õmblusmasin püsib paigal.

Kõik meist on kogenud, et tool nihkub põrandal edasi vaid siis, kui seda lükata. Pärast lükkamise lõppu lakkab liikumine jalgade ja põranda vahelise hõõrdumise tõttu.

Click to play video

Newtoni esimese seaduse eksperimentaalne demonstreerimine.

Kuidas liiguvad aga kehad siis, kui ümbritsev neid ei sega, kui puudub vastastikmõju teiste kehadega?

Teame, et vastastikmõju üheks tagajärjeks on liikumise muutumine. Kui vastastikmõju pole, siis ei saa muutuda ei liikumise kiirus ega ka suund. Sel juhul on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Kui aga keha juhtub seisma, siis jääbki see muutumatult paigale.

Inglise füüsik Isaac Newton (1642 – 1726), kes oma uuringutele tuginedes sõnastas mehaanika kolm põhiseadust. Neid seadusi tuntakse tänapäeval Newtoni seaduste nime all.

Vastastikmõjude puudumisega on samaväärne olukord, kus jõud on kompenseerunud ja resultantjõud null.

Need tähelepanekud võtabki kokku Newtoni esimene seadus, mis kirjeldab keha liikumist jõudude puudumisel: kehale mõjuvate jõudude puudumisel või nende kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Nähtust, kus keha püüab oma liikumisseisundit säilitada, nimetatakse inertsiks. Seepärast nimetatakse Newtoni esimest seadust ka inertsiseaduseks.

Matemaatiliselt saab inertsiseadust väljendada nii:

F⃗=0⇒a⃗=0

Resultantjõud

Jõudude liitmisel tuleb järgida vektorite liitmise reegleid. Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks.

Newtoni I seadus

Kehale mõjuvate jõudude puudumisel või nende kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Vette vajuvale kivile mõjub raskusjõud 5 N ning üleslükkejõud 1,4 N. Kui suur ja mis suunas on suunatud resultantjõud?

Skitseeri joonisel toodud jõudude resultantjõud.

Põldu kündev traktor liigub ühtlaselt ja seega liikumine ei muutu. Millised traktorile mõjuvad jõud üksteist kompenseerivad?

Miks on liikuvas bussis seisval inimesel raske säilitada oma asendit, kui buss äkki peatub?

Miks ei või õngeritva järsult tõmmata, kui kala on konksu otsa jäänud?

Kas Kuu tiirlemine ümber Maa on näide Newtoni I seaduse avaldumisest? Miks?

Millised jõud on kompenseerunud nende ühtlaste liikumiste korral: a) langevarjuri laskumine; b) saanisõit lumisel teel; c) purjeka seilamine?

Kui kehale jõude ei mõju, jääb liikumine vastavalt inertsiseadusele muutumatuks. Kuidas muutub aga liikumine siis, kui kehale mõjub jõud?

On kindlaks tehtud, et kui kehale mõjub jõud, siis keha kiirus muutub ehk keha liigub kiirendusega. Järelikult põhjustab jõud kiirenduse. Millest ja kuidas kiirendus sõltub, on kindlaks tehtud katsete abil.

Kui mõjutada erinevaid kehi sama suure jõuga, võivad saadud kiirendused olla erinevad. Mõne keha kiirus muutub aeglasemalt ja kiirendus on väiksem. Need kehad säilitavad oma liikumisseisundit teistega võrreldes paremini ja öeldakse, et nende inertsus on suurem. Inertsus on keha omadus, mis iseloomustab selle võimet liikumisolekut säilitada.

Suurema inertsusega keha kiirust on raskem muuta. Näiteks on rasket veoautot määratult raskem liikuma lükata kui mänguautot. Selles pole midagi kummalist – päris autol on mänguasjaga võrreldes ju palju suurem mass.

Mass on keha inertsuse mõõt. Selle tähiseks on $m$ ja mõõtühikuks $1 \text{ kg}$ .

Click to play video

Vankri konstantse jõu mõjul kiirenev liikumine.

Katsed näitavad, et jõu toimel tekkiv kiirendus on pöördvõrdeline keha massiga. Mida suurem mass, seda väiksema kiirenduse see jõud tekitab.

Veel näitavad katsed, et kiirendus on seda suurem, mida suurem jõud kehale mõjub. See on ka mõistetav – kui liikumise muutuse tingib vastastikmõju, siis mida tugevam on mõju, seda suurem peab olema ka selle põhjustatud muutus. Kiirendus on võrdeline jõuga.

Ülaltoodud tulemused võimaldasidki Newtonil jõuda oma mehaanika teise põhiseaduse sõnastamiseni.

Newtoni teine seadus ütleb: kui kehale mõjub jõud, siis liigub see kiirendusega, mis on võrdeline mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline selle keha massiga. Matemaatiliselt väljendab Newtoni II seadust valem

a⃗=mF⃗

Kuna sel seadusel on suur tähtsus mehaanika põhiülesande lahendamisel, nimetatakse Newtoni II seadust ka dünaamika põhiseaduseks.

Kui me teame keha algkoordinaati, algkiirust, massi ja mõjuvat jõudu, saame Newtoni II seadusest arvutada kiirenduse ning välja kirjutada keha liikumisvõrrandi. Liikumisvõrrand lubab keha asukoha välja arvutada mis tahes ajahetkel ning sellega ongi põhiülesanne lahendatud.

Newtoni II seadus

Kui kehale mõjub jõud, siis liigub see kiirendusega, mis on võrdeline mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline selle keha massiga.

Kui suure kiirenduse annab 1200 kg massiga autole mootor, mille veojõud on 1800 N?

45 N suurune jõud annab kehale kiirenduse 2,5 m/s². Kui suur on selle keha mass?

Auto kiirus on 72 km/h ja mass 2,4 t. Kui suur pidurdav jõud vähendab 6 sekundi jooksul kiiruse väärtuseni 36 km/h?

5 kg massiga kehale mõjub jõud 2 N. Kirjuta välja selle keha liikumisvõrrand, kui on teada, et ajamõõtmise alghetkel oli selle koordinaat 10 m ja kiirus 5 m/s. Kus asub keha 10 sekundit hiljem?

Joonisel on toodud 1000 kg massiga keha kiiruse ajast sõltuvuse graafik. Kui suur jõud sellele kehale mõjub?

Kui Newtoni I ja II seadus kirjeldavad, kuidas keha liigub välise mõju puudumisel või olemasolul, siis kolmas seadus käib vastastikmõju enda kohta. Newton ise nimetas seda seadust mõju ja vastumõju seaduseks.

Kogemused näitavad, et kehad mõjutavad teineteist alati vastastikku. Kui toetame redeli seinale, siis mõjub sein redelile vastu ja seda nii, et redel püsib paigal.

Kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Kehad osalevad vastastikmõjus alati paarikaupa. Seejuures mõjuvad jõud mitte ainult ühele, vaid mõlemale kehale. Need kehadele mõjuvad jõud on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. Kui Maa tõmbab kukkuvat õuna jõuga $1 \text{ N}$ , siis õun tõmbab maakera vastu täpselt sama suure jõuga.

Selles väljendubki mõju ja vastumõju ehk Newtoni kolmas seadus: kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Kui eristada kahele vastastikmõjus osalevale kehale mõjuvaid jõude indeksitega 1 ja 2, saab Newtoni III seadust väljendada valemiga

F⃗1=−F⃗2

Tuleb meeles pidada, et Newtoni III seaduse jõud mõjuvad eri kehadele ja seepärast ei saa need teineteist tasakaalustada, kuigi on võrdsed ja vastupidised.

Newtoni III seadus

Kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Kumb taevakeha tõmbab teist enda poole tugevamini, kas Päike Maad või Maa Päikest?

Solution

Kala sikutab õngenööri jõuga 10 N ja kalamees tõmbab sama suure jõuga vastu. Kas nöör, mis talub venitamist kuni 15 N, katkeb?

Solution

Newtoni teine seadus näitab keha kiiruse muutumise sõltuvust keha massist ja sellele mõjuvast jõust. Kiiruse sama suure muutuse jaoks on suurema massi korral vaja kas suuremat jõudu või pikemat aega. Samas on mõju vastastikune – keha, mille kiirus muutub, mõjub teisele kehale sama aja jooksul sama jõuga vastu ja võib muuta selle liikumist või kuju. Näeme, et liikuval kehal on võime muuta teiste kehade liikumist.

Keha võime vastastikmõju korral teist keha mõjutada sõltub kehade kiirusest ja massist. Sellele teadmisele tuginedes on liikumise iseloomustamiseks võetud kasutusele suurus, mida nimetatakse keha liikumishulgaks ehk impulsiks. Impulsi tähiseks on $\vec p$ (pulsus – ld 'löök, impulss') ning see on defineeritud keha massi ja kiirusvektori $\vec v$ korrutisena:

p⃗=mv⃗

Impulsi mõõtühikuks on 1 kg·m/s. Tegemist on vektoriaalse suurusega, mille suund ühtib kiirusvektori suunaga.

Sumomaadleja Kaido Höövelson valmistub võitluseks. Tema impulss esmasel kokkupõrkel on võrdeline tema massi ja kiiruse korrutisega.

Impulsi füüsikalist tähendust võib mõista näiteks põrgete vaatlemisel. Põrke mõju on seda suurem, mida suurem on keha impulss. Seepärast tuleb sadamakai ehitada väga tugev, muidu purustaks selle ka väga aeglaselt liikuv, kuid suure massiga laev. Samamoodi võib väike püssikuul tekitada suuri purustusi oma suure kiiruse tõttu. Nii laeval kui ka kuulil on suur impulss, ühel oma suure massi ja teisel suure kiiruse tõttu, ning need võivad teisi kehi suure jõuga mõjutada.

Osutub, et impulss on jõuga otseselt seotud. Võtame Newtoni II seaduse (1.2) ja asendame selles kiirenduse selle definitsiooni avaldisega

a⃗=ΔtΔv⃗=tv⃗−v⃗0

saame

Δtv⃗−v⃗0=mF⃗

Kui korrutame saadud võrduse mõlemad pooled keha massiga läbi, saame

Δtmv⃗−mv⃗0=F⃗

Et massi ja kiiruse korrutis kujutab endast keha impulssi, siis avaldis

mv⃗−mv⃗0=p⃗−p⃗0=Δp⃗

pole midagi muud kui impulsi muut. Seega võime kirjutada, et

ΔtΔp⃗=F⃗

Saime Newtoni II seadusele uue kuju, mis näitab, et impulsi muutumise kiirus on võrdne seda muutust põhjustava jõuga. Tegemist on väga olulise tulemusega, mida kasutatakse peale klassikalise dünaamika ka elementaarosakesi uurivas kvantmehhaanikas.

Õun ja Maa mõjutavad teineteist ühesuuruste vastassuunaliste jõududega.

Liikumishulgal ehk impulsil on füüsika jaoks väga oluline omadus – jäävus.

Uurime kahe keha vastastikmõju. Newtoni III seaduse järgi mõjutavad need kehad teineteist võrdsete ja vastassuunaliste jõududega:

F⃗1=−F⃗2

Kehale mõjuv jõud on vastavalt seosele ([valem=15035]1.7[/valem]) võrdne keha impulsi muutumise kiirusega. Nii saame Newtoni III seadusele kuju:

ΔtΔp⃗1=−ΔtΔp⃗2

Et kehad mõjutavad teineteist sama kaua, võime ajavahemikud $\Delta t$ taandada ning avaldis lihtsustub:

Δp⃗1=−Δp⃗2

ehk

Δp⃗1+Δp⃗2=0

Avaldis

Δp⃗1+Δp⃗2

kujutab endast mõlema keha impulsside muutude summat. Sisuliselt on tegemist kehade koguimpulsi

p⃗1+p⃗2

muuduga, mida võib tähistada kui

Δ(p⃗1+p⃗2)

Seda tähistust kasutades saame seosele ([valem=15038]1.9[/valem]) kuju, mis väljendabki impulsi jäävuse seadust:

Δ(p⃗1+p⃗2)=0

ehk

Δ(m1v⃗1+m2v⃗2)=0

Näeme, et kui kaks keha teineteist mõjutavad, siis selle käigus nende koguimpulss ei muutu (muut = 0). Saab näidata, et impulsi jäävus kehtib ka kui tahes paljudest kehadest koosneva süsteemi jaoks. Ainsaks tingimuseks on see, et süsteemi mittekuuluvate kehade mõjud puuduvad.

Nii võimegi sõnastada impulsi jäävuse seaduse: väliste mõjude puudumisel on süsteemi koguimpulss sinna kuuluvate kehade igasugusel vastastikmõjul jääv.

Seaduse rakendamisel ei tohi unustada, et impulss on vektoriaalne ehk suunaga suurus.

Impulsi jäävuses võib igaüks ise veenduda, kui astub kinniköitmata paadist kaldale. Enne väljaastumist on paat koos inimesega paigal ja nende koguimpulss null. Astumisel hakkab inimene kalda poole liikuma ja omab teatud impulssi. Et koguimpulss ei muutu ja jääb nulliks, saab paat vastassuunalise impulsi ning eemaldub kaldast.

Kogu teaduse ajaloo vältel pole avastatud ühtegi nähtust, mis oleks impulsi jäävusega vastuolus. See seadus on universaalne ning kehtib ka väljaspool mehaanika uurimisvaldkondi.

Impulss

Keha võimet vastastikmõju korral teist keha mõjutada nimetatakse keha liikumishulgaks ehk impulsiks.

Impulsi jäävuse seadus

Väliste mõjude puudumisel on süsteemi koguimpulss sinna kuuluvate kehade igasugusel vastastikmõjul jääv.

Kui suur on impulss 2,5-tonnise massiga autol, mis sõidab kiirusega 72 km/h?

Solution

Kui suur on impulsi muut 200 g massiga pallil, mis kiirusega 5 m/s põrandale kukkudes põrkub tagasi kiirusega 3 m/s?

Solution

Eelmises ülesandes toimunud põrge kestis 0,05 s. Millise jõuga pall põrandale mõjus?

Solution

Selgita, miks annab püss kuuli väljatulistamisel tagasilöögi?

Solution

Kalamees, kelle mass on 75 kg, hüppab paadist välja kiirusega 5 m/s. Millise kiirusega ja millises suunas hakkab see 125 kg massiga paat liikuma?

Solution

Dünamiidilaeng lõhub paigalseisva kivi kaheks tükiks, mis lendavad vastassuundades laiali kiirustega 23 m/s ja 45 m/s. Suurema kivitüki mass on 7,4 kg. Arvuta teise tüki mass.

Solution

Impulsi jäävuse seaduse üheks huvitavaks ning oluliseks rakenduseks on reaktiivliikumine (re- + activus – ld 'vastu + tegutsev'), mida kasutatakse nii tehnikas kui ka mõne looma poolt looduses. Selleks et paigalt liikuma pääseda, on vaja vastastikmõju – teist keha, millest end eemale tõugata, nii et see vastavalt Newtoni III seadusele sama suure jõuga vastu mõjuks. Just tänu sellele saavadki kehad liikuma hakata. Jalad tõukavad teekatet, aerud vett, lennukipropeller õhku.

Reaktiivliikumine tekib, kui kehast osa eemale paisatakse.

Kuidas lendavad aga kosmoseraketid õhutühjas maailmaruumis, kus pole midagi, millest end eemale tõugata? Kui läheduses sobiv keha puudub, tuleb see endaga kaasa võtta. Just niiviisi toimitakse rakettide lennutamisel. Rakett hakkab liikuma tänu sellele, et selle ühest otsast paisatakse läbi spetsiaalse ava (düüsi) suure kiirusega välja kütuse põlemisel tekkivad gaasid. Enne starti on paigalseisva raketi ja selles sisalduva kütuse impulss null. Kui nüüd kütuse põlemisel tekkivad gaasid ühes suunas välja lendavad, hakkab rakett ise vastassuunas liikuma. Muidu ei jääks raketist ja gaasidest koosneva süsteemi koguimpulss ju nulliks.

Rakett hakkab liikuma tänu gaaside väljapaiskamisele.

Nii tekibki raketi reaktiivliikumine. Reaktiivliikumiseks nimetatakse liikumist, mille tekitab kehast eemale paiskuv keha osa.

Hindame, millise kiiruse võib rakett kütuse ärapõlemisel saada. Oletame lihtsuse mõttes, et põlemisgaasid ei välju raketist tasapisi, vaid ühekorraga.

Olgu raketikesta ja selles asuva aparatuuri ning meeskonna mass $m_r$ , kütuse ja sellest tekkivate gaaside mass $m_k$ ning gaaside väljapaiskumise kiirus $v_k$ . Et algul on rakett paigal ja impulss null, saame impulsi jäävuse seaduse välja kirjutada järgmiselt:

0=mrv⃗r+mkv⃗k

Avaldame siit raketi kiiruse

v⃗r=−mrmkv⃗k

Sellest valemist näeme, et rakett liigub gaaside väljapaiskumisele vastassuunaliselt (miinusmärk!) ja kiirus on seda suurem, mida suurem on kütuse ning raketi masside suhe ja mida suurema kiirusega gaasid välja pääsevad. Et kosmoselaev saavutaks Maalt lahkumiseks piisavalt suure kiiruse, peab kütuse mass ületama ülesviidava kasuliku massi hulka sadu kordi ning valida tuleb võimalikult kiiresti põlev kütus.

Esimese reaktiivliikumise põhimõttel töötava seadme ehitust on esimesel sajandil kirjeldanud antiikkreeka matemaatik ja insener Heron. Tegemist oli kahe düüsiga varustatud õõnsa metallkeraga, millesse suunati vee keemisel tekkiv aur. Düüsidest suure kiirusega väljuva auru reaktiivjõud pani selle nn Heroni kera pöörlema.

Tore näide reaktiivliikumise rakenduste kohta on muidugi ka hiinlaste 13. sajandil leiutatud püssirohuraketid, mida kasutatakse ilutulestikes siiamaani.

Ratastel sõiduki maismaa kiirusrekordit hoiab kahe reaktiivmootoriga rakettauto ThrustSSC, mis ületas 1997. a 15. oktoobril helibarjääri ja saavutas kiiruse 1227,9 km/h.

Tänapäeval on reaktiivmootorid väga levinud, kuna need võimaldavad saavutada suuri kiirusi. Nendeta ei saa läbi ükski kosmoselennuaparaat ning enamik kiireid lennukeid liigub samuti reaktiivjõul. Reaktiivmootoreid ei kasutata aga mitte ainult lennumasinatel. Neid on monteeritud ka autodele, millega maapealseid kiirusrekordeid püstitatakse. Kui reaktiivautod on üsna haruldased, siis veejoa reaktiivjõul Tallinna ja Helsingi vahet kihutavad Jeti kiirlaevad (jet – ingl 'juga') on üsna igapäevased.

Reaktiivmootoritega kohtume selles õpikus veel üks kord, kui räägime pöördliikumise kasutamisest tehnikas.

Reaktiivliikumist võib kohata ka mitme veelooma juures. Näiteks kasutavad kalmaarid, meduusid ja rannakarbid edasiliikumiseks endasse imetud vee kiiret väljasurumist.

Reaktiivliikumine

Reaktiivliikumiseks nimetatakse liikumist, mille tekitab kehast eemale paiskuv keha osa.

Kuidas saab õhupalli ilma kõrvaliste vahenditeta lendama panna?

Solution

Mis juhtub, kui tugeva joaga aiakastmisvoolik käest lahti pääseb?

Solution

See, kuidas keha liigub, sõltub sellele mõjuvatest jõududest. Millised need jõud aga olla võivad ning millest ja kuidas sõltuvad? Järgnevalt tutvumegi suurema osaga peamistest jõududest, mida looduses kohata võime. Elektri-, magnet- ja tuumajõud leiavad käsitlemist järgmistes füüsikakursustes.

1638. aastal avaldas Galilei oma raamatus „Discorsi“ uurimistulemused, mille järgi kukuvad kõik kehad Maa külgetõmbe tõttu ühesuguse kiirendusega. Kust aga pärineb see jõud, mis kõiki kukkuvaid kehi kiirendab? Selle ja muude liikumisega seotud küsimuste kallal juurdles üsna pikalt tolleks ajaks juba mitmete optikanähtuste selgitamisega tuntuks saanud Newton.

Legendi järgi kukkunud kord murul istunud Newtonile pähe õun. See pannud mehe juurdlema, miks õun alati maha kukub ja miks see üldse kukub. Kas tõmbab ainult Maa õuna või on ka õunal selline külgetõmbejõud?

Kukkuva õuna trajektoorid erinevate algkiiruste korral.

Otse üles visatud õun kukub samasse kohta tagasi. Eemale visatud õun maandub seda kaugemal, mida kiiremini seda visatakse. Kas õun võiks teha terve tiiru ümber Maa, kui kiirus oleks piisavalt suur? Kas Kuu tiirlemine ümber Maa polegi just selline kukkumine?

Kas õun toona 23-aastasele Newtonile ka tegelikult pähe kukkus, pole teada. Igal juhul on ta ise mitu korda jutustanud, et just kukkuv õun viis mõtted külgetõmbeprobleemidele. Lisaks oma uurimustele üldistas teadlane ka Galilei avastatud vaba langemise seadust ning Koperniku ja Kepleri astronoomiliste vaatluste andmeid. Pingsa mõttetöö ja omaleiutatud matemaatilise analüüsi meetodi rakendamise tulemusena avastaski Newton seaduse, millele kehadevaheline külgetõmbejõud allub: kaks punktmassi tõmbuvad teineteise poole jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutisega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga.

Matemaatiliselt avaldub gravitatsiooniseadus valemina:

F=Gr2m1m2

Maa ja õuna tõmbumist kirjeldab ülemaailmne gravitatsiooniseadus.

Valemis tähistab $F$ mõlemale kehale (punktmassile) võrdselt mõjuvat gravitatsioonijõudu, $m_1$ ja $m_2$ kummagi keha massi ning $r$ nendevahelist kaugust. Tähega $G$ tähistatud kordajat nimetatakse gravitatsioonikonstandiks.

Tegemist on universaalse seadusega. Gravitatsioonijõud mõjub kõikidele kehadele ning ulatub valgusaastate kaugusele.

Kui valemis võtta mõlema keha massiks $1\text{ kg}$ ja vahekauguseks $1\text{ m}$ , saame valemist ([valem=15044]1.13[/valem])

F=G11⋅1=G

Järelikult on gravitatsioonikonstant $G$ arvuliselt võrdne jõuga, millega tõmbuvad kaks teineteisest $1\text{ m}$ kaugusel asuvat $1\text{ kg}$ massiga keha. Selle arvuline väärtus sõltub mõõtühikute valikust ning on määratav vaid eksperimentaalselt.

Maapealsete suhteliselt väikese massiga kehade vaheline tõmbumine on äärmiselt nõrk. See muudab gravitatsioonikonstandi mõõtmise keeruliseks. Esimest korda määras gravitatsioonikonstandi väärtuse täpsete väändkaalude abil 1798. aastal inglise füüsik Henry Cavendish. Ta sai tulemuseks 6,754·10⁻¹¹ N·m²/kg², mis on üsna lähedane tänapäeval tuntud väärtusele 6,67428·10⁻¹¹ N·m²/kg².

Cavendishi katses tõmbusid kuulid massiga 0,7 kg kuulide poole, mille mass oli 158 kg.

Cavendishi gravitatsioonikonstandi määramiseks kasutatud väändkaalude rekonstruktsioon. Muide, selle seadme konstrueeris John Michell, mees, keda mainime siin raamatus ka kui mustade aukude väljamõtlejat.

Kooliülesannete lahendamisel võetakse $G$ väärtuseks tavaliselt

G=6,7×10−11\rmk\rmg\rm2\rmN⋅\rmm\rm2

Gravitatsiooniseadus

Kaks punktmassi tõmbuvad teineteise poole jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutisega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga.

Kuidas muutub kahe keha vaheline külgetõmbejõud, kui vähendada vahekaugust kolm korda?

Solution

Hinnake gravitatsioonijõudu, mis mõjub pinginaabrite vahel.

Solution

Arvuta jõud, millega tõmbusid suur ja väike pliikera Cavendishi katses. Vajalikud arvandmed on toodud katset selgitaval joonisel.

Solution

Arvuta Kuu ja Maa vaheline külgetõmbejõud. Kuu ja Maa massid on vastavalt 7,3·10²² kg ja 6,0·10²⁴ kg ning vahekaugus 3,8·10⁸ m.

Solution

Meie jaoks on eriline muidugi see gravitatsioonijõud, millega Maa tõmbab kõiki seda ümbritsevaid kehi. Tänu sellele jõule kukuvad kõik kehad alla Maa keskpunkti poole ja on tõstmisel rasked. Tegemist on meile tuttava raskusjõuga. Raskusjõud pole iseloomulik mitte ainult Maale, vaid ilmneb tugevamalt või nõrgemalt kõikidel taevakehadel. Raskusjõuks nimetatakse gravitatsioonijõudu, millega Maa või mis tahes muu taevakeha tõmbab enda poole selle lähedal asuvaid kehi.

Raskusjõu saame leida gravitatsiooniseadusest ([valem=15044]1.13[/valem]). Võttes ühe keha massiks Maa massi $M$ ning vahekauguseks Maa raadiuse $R$ , tuleb maapinnal asuvale kehale massiga $m$ mõjuvaks raskusjõuks

F=GR2Mm

Kui suure kiirenduse see jõud kehale annab? Kasutame Newtoni II seadust ([valem=15029]1.2[/valem]):

a=mF=GR2mMm=GR2M

ehk

a=GR2M

Et Maa mass on 5,98·10²⁴ kg ja raadius 6370 km = 6,37·10⁶ m, annavad arvutused

a=6,67⋅10−11⋅(6,37⋅106)25,98⋅1024=9,83≈9,8(\rms\rm2\rmm)

See kiirenduse väärtus on meile tuttav kui vaba langemise kiirendus. Vaba langemise kiirendust nimetatakse veel raskus- ehk gravitatsioonikiirenduseks. Viimasest ongi tulnud tähis $g$ .

Teades nüüd, et vabalt langeva keha kiirendus on $\vec g$, saame Newtoni II seadusest seda kiirendust tekitava jõu ehk raskusjõu arvutamiseks lihtsa valemi:

F⃗=mg⃗

See raskusjõud on suunatud Maa keskpunkti ega ole seepärast Maa kõigis punktides samasuunaline.

Kõrguse kasvades raskuskiirendus väheneb, sest valemis ([valem=15049]1.21[/valem]) tuleb Maa raadiusele liita ka kõrgus maapinnast h:

g=G(R+h)2M

Kuna raskuskiirenduse vähenemine muutub märgatavaks alles 100 km kõrgusel, mida loetakse kokkuleppeliselt kosmose piiriks, siis on tavaelus mugavam kasutada nn lapiku Maa mudelit (midagi antiikaegse ettekujutuse sarnast). Selle mudeli puhul mõjub kõikidele Maa-lähedastele kehadele vertikaalselt alla suunatud raskusjõud, mis kõrgusest ei sõltu.

Tänu gravitatsioonile mõjutab keha oma alust või riputusvahendit, mis takistab keha liikumist Maa keskpunkti poole. Seda jõudu, millega keha Maa külgetõmbe tõttu mõjub alusele, keskkonnale või riputusvahendile, nimetatakse keha kaaluks. Kaalu tähis käesolevas kursuses on $\vec P$ ning mõõtühik 1 N (mitte igapäevasele kõnepruugile vastavalt 1 kg, kuna tegemist pole massiga!).

Kaal on jõud, millega keha mõjutab alust või riputusvahendit.

Kui alus või riputusvahend on paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, on keha kaal võrdne raskusjõuga. Kui alus liigub vertikaalsuunalise kiirendusega, siis kaal enam raskusjõuga võrdne pole. Kaal sõltub kiirendusest.

Kui alus liigub kiirendusega üles, peab see kehale kiirenduse andmiseks rakendama lisajõudu. Kaal on sel juhul raskusjõust suurem ja öeldakse, et tegemist on ülekoormusega:

P=mg+ma=m(g+a)

Kiirendusega alla liikumisel on vastupidi. Tegemist on alakoormusega:

P=m(g−a)

Kaalu sõltuvust kiirendusest võime tajuda liftis. Tõusu alguses tunneme ülekoormust ja lõpus alakoormust.

Ülaltoodut arvestades saab kaalu seost kiirendusega väljendada ühe kokkuvõtva valemiga:

P=m(g±a)

Vabalt langevad kehad on kaaluta olekus.

Kui aga alus või riputusvahend üldse eemaldada, siis kaob ka keha mõju sellele. Kui pole mõju alusele või riputusvahendile, ei saa olla ka kaalu ning tegemist on kaalutuse ehk kaaluta olekuga. Kõik vabalt langevad kehad on kaaluta olekus.

Kaalu ja raskusjõudu ei tohi samastada, sest need jõud mõjuvad eri kehadele. Keha kaal mõjub alusele või riputusvahendile ja on olemuselt elastsusjõud. Raskusjõud on olemuselt gravitatsioonijõud, mis mõjub kehale endale. Need on täiesti erinevad jõud.

Raskusjõud

Raskusjõuks nimetatakse gravitatsioonijõudu, millega Maa või mis tahes muu taevakeha tõmbab enda poole selle lähedal asuvaid kehi.

Raskuskiirendus

Gravitatsioonijõu mõjul vabalt langemise kiirendust nimetatakse raskus- ehk gravitatsioonikiirenduseks.

Kaal

Seda jõudu, millega keha Maa külgetõmbe tõttu mõjub alusele, keskkonnale või riputusvahendile, nimetatakse keha kaaluks.

Kaalutus

Kui pole mõju alusele või riputusvahendile, ei saa olla ka kaalu ning tegemist on kaalutuse ehk kaaluta olekuga.

Kui suur raskusjõud mõjub 32 kg massiga sangpommile?

Solution

Kui suur on vaba langemise kiirendus 1000 km kõrgusel?

Solution

Kui kõrgel on raskusjõud kaks korda väiksem kui maapinnal?

Solution

Arvuta vaba langemise kiirendus Kuu pinnal. Kuu mass on 7,3·10²²kg ja raadius 1700 km. Kui suur raskusjõud Sinule Kuu pinnal mõjuks.

Solution

Arvuta enda kaal liftis, mis liigub a) ühtlaselt üles kiirendusega 0,2 m/s²; b) alla kiirendusega 0,5 m/s².

Solution

Kui suur on Kuu kaal?

Solution

Igapäevaelus me ei pane gravitatsiooni tähele. Aga kui järele mõelda, siis on selle mõju kõikjal. Anname siin vaid ühe lihtsa näite, räägime põlemisest - kui ei oleks gravitatsiooni, siis ei tekiks ka konvektsiooni ja leek lämbuks omaenda tekitatud süsinikdioksiidi "mullis".

Küünla põlemine koos gravitatsiooniga (vasakul) ja ilma selleta (paremal).

Click to play video

Kui tõmmata kaaluta olekus tikku, siis ...

Veel maapealsetest asjadest.

Kuu ja Päikese gravitatsiooniline tõmbumine põhjustab maailmamere loodeid ehk tõuse ja mõõne. Eriti tugevad looded esinevad siis, kui Päike ja Kuu paiknevad samal pool Maad viimasega ühel sirgel, st kuu loomise ajal. Korraga on Maal tõus nii sellel poolel, mis asub Kuu suunas, kui ka vastasküljel. Kuna vesi saab voolata, siis koguneb see rohkem Maa Kuu-poolsele küljele ja tõstab meretaset. Pöörlemisel tekivad inertsijõud, mis püüavad kõike pöörlemisteljest eemale paisata. Kuust kaugeimas punktis avaldub see kõige märgatavamalt, kuna seal on Maa kaaslase külgetõmme kõige nõrgem.

Pöördume loodete juurde veel üks kord tagasi, kui käsitleme võnkumisi ja resonantsi.

Refereerime järgnevalt Piret Kuuse artiklit, mis ilmus ajakirjas Horisont.

Vaatlused ja kogemused kinnitavad, et taevakehad on meile nähtavad, sest kiirgavad või peegeldavad valgust, ja tuntavad, kui satume nende lähedusse, sest need rakendavad meile külgetõmbavat raskus- ehk gravitatsioonijõudu. Kuulus inglane Isaac Newton (1642/3–1727) formuleeris kaks teooriat – optika ja mehaanika –, mis neid kahte mõju – valgust ja raskusjõudu – kirjeldavad teineteisest täiesti sõltumatult. Kuid 1783. aastal küsis teine Inglise loodusteadlane John Michell (1724–1793): aga mis siis, kui ka valguskorpusklile (Newtoni optikas käsitati valgust korpusklite voona) mõjub raskusjõud? Newtoni mehaanikast on teada, et paokiirus ümmarguselt kehalt massiga $M$ raadiusega $R$ on

vpao2=R2GM

kus $G$ on Newtoni gravitatsioonikonstant. Kui ükskõik milline objekt visata sellise keha pinnalt üles suurema kiirusega kui $v_\text{pao}$ , siis selle kineetiline energia ületab gravitatsiooni potentsiaalse energia ning see ei kuku enam tagasi. Jupiteri kuude liikumise vaatluste põhjal oli juba 1676. aastal järeldatud, et valguse kiirus $c$ on lõplik. Niisiis kui taevakeha paokiirus on suurem kui valguse kiirus, ei saa valguskorpusklid enam selle juurest eemalduda lõpmata kaugele: „üles visatud" valguskorpusklid langevad taevakeha pinnale tagasi ja viimane muutub küllalt kaugel olevale vaatlejale nähtamatuks.

Selliseid taevakehasid nimetas Michell tumetähtedeks. Michelli arvutuste kohaselt muutuks näiteks Päikese massiga täht tumetäheks, kui selle raadius oleks 18,5 kilomeetrit. Kuna oli teada, et Päikese raadius on määratult palju suurem, ligi 700 000 kilomeetrit, olid Michelli tumetähed vaid võimalikud teoreetilised konstruktsioonid korpuskulaaroptika raames. Huvi nende vastu kustus täielikult, kui Inglise teadlane Thomas Young (1773–1829) avastas valguse interferentsi ja korpuskulaaroptika asendus laineoptikaga.

Tänapäeval ei kirjeldata gravitatsiooni ja valgust enam Newtoni teooriatega, vaid Einsteini-Maxwelli võrranditega.

Einstein formuleeris oma gravitatsioonivõrrandid 1915. aasta novembris ning avaldas need lühiteatena Preisi Teaduste Akadeemia toimetiste 25. novembril ilmunud numbris. Seda luges Esimese maailmasõja idarindel Saksa astrofüüsik Karl Schwarzschild (1873–1916), kes sõja puhkedes 1914. aastal oli astunud sõjaväkke ning jõudnud kahe aastaga suurtükiväe leitnandi auastmeni. Sealsamas sõjaväljal õnnestus tal leida Einsteini võrrandite üks väga lihtne lahend, nimelt selline, mis kirjeldab aegruumi geomeetriat väljaspool täpselt kerasümmeetrilist staatilist keha massiga M. Seda lahendit nimetatakse praegu Schwarzschildi välimiseks lahendiks ehk lihtsalt Schwarzschildi lahendiks.

Schwarzschild telegrafeeris leitud lahendi Einsteinile, kes esitas selle Preisi TA koosolekul 13. jaanuaril 1916. Mõned nädalad hiljem saatis Schwarzschild Einsteinile veel teisegi lahendi, mis kirjeldab aegruumi geomeetriat staatilise kerasümmeetrilisena ainelise keha sees. Seda nimetatakse praegu Schwarzschildi sisemiseks lahendiks. Kuigi see ei ole nii kuulus kui too eelmine, on mõlemal lahendil võrdselt oluline roll relativistlikus astrofüüsikas: kerasümmeetrilise tähe lihtsaima mudeli konstrueerimist tuleb alustada tähe pinnast seespool kehtivast Schwarzschildi sisemisest lahendist, mis tähe pinnal tuleb sujuvalt (siledalt, nagu ütlevad matemaatikud) ühendada Schwarzschildi välimise lahendiga.

Schwarzschildi valemid sisaldavad matemaatilist võimalust, mis on mõneti analoogne Michelli tumetähega: kui massiga M kerasümmeetrilise tähe raadiust vähendada seni, kuni see on jõudnud väärtuseni

Rg=c22GM

(seda nimetatakse ka selle tähe Schwarzschildi raadiuseks), siis ei saa tähe pinnalt mitte miski eemalduda, isegi mitte valgus. Pind raadiusega R_g osutub läbimatuks kõigele, mis tahaks liikuda keskelt läbi selle pinna väljapoole.

Vaid mõni kuu hiljem, 19. juunil 1916, pidi Einstein Preisi Teaduste Akadeemias teatavaks tegema kurva sõnumi: Karl Schwarzschild on Vene rindel haigestunud ja 11. mail jäädavalt lahkunud.

Kuna Einsteini võrrandid kirjeldavad gravitatsiooninähtusi, mis oletatavasti on taevakehade ehituse ja liikumiste alus, siis on üsna loomulik küsida, kas taevas on olemas ka midagi sellist, mida matemaatiliselt võiks kirjeldada Schwarzschildi välimine lahend. Kas üldse ja kui, siis kuidas võiksime ära tunda kosmilise objekti, mis tegelikult ei olegi ju objekt, vaid ainult tühja kõvera aegruumi teatud konfiguratsioon?

Selline paistaks meile must auk, kui saaksime seda piisavalt lähedalt uurida. Kustunud täht asub musta augu keskel ja on sellest palju väiksem. Musta augu mõõtmed on määratud Schwarzschildi raadiusega. Oma väga suure massi tõttu must auk ka muudab valguse levimise suunda, toimides nn gravitatsiooniläätsena ja sümmeetriliselt kahel pool musta auku paistev täht on tegelikult üks täht, mis asub otse musta augu taga.

Seda võimalikku konfiguratsiooni on hakatud kutsuma mustaks auguks.

Ajalooliselt kõige esimesena väljaarvutatud protsess, mis universumis võiks toimuda ja kus mustad augud võiksid mängu tulla, on gravitatsiooniline kollaps. Oma arengu hilistes staadiumides, kui tähed on ära põletanud kogu oma tuumkütuse ja hakkavad jahtuma, ei ole enam väljapoole suunatud kiirgusrõhku, mis võiks vastu seista täheainet kokku suruvale raskusjõule. Suurte tihedusteni jõudmise järel võib kiirgusrõhu asemel raskusjõudu tasakaalustada elektrongaasi või neutrongaasi rõhk, kuid juba 1939. aastal avaldati arvutused, mis andsid stabiilse lõppseisundiga tähe massi ülempiiriks umbes kolm Päikese massi (nn Tolmani-Oppenheimeri-Volkoffi piir). Sõna "umbes" tähistab siin asjaolu, et arvutused on tehtud teooria raames, mis ei pruugi nii äärmuslikes tingimustes olla päris täpne. Siiski annab see alust väita, et juhul kui tähe mass on nimetatud piirmassist suurem, surutakse täht kokku pöördumatult ja kogu täheaine kaob lõkspinna taha, mis ühtlasi tähendab musta augu teket.

Omalt poolt mainime siin veel aegruumi ja selle kõverdumist gravitatsiooniväljas. Seda eelkõige põhjusel, et internetist ja raamatutest leiab tihti illustratsioone, kus Maa või mõni täht on justkui kummikelme sisse vajunud (vt joonist). Mida raskem objekt, seda "sügavamale" see vajuks, nii et musta augu keskel olev kustunud täht moodustaks väga kitsa ja väga sügava augu. Kui panna sellisele pinnale veerev kuul, siis ta veereks massiivsele objektile lähemale, sarnaselt, kui seda tõmbaks gravitatsiooniväli. Siiski on tähtis meeles pidada, et ilmaruumis ei ole selliseid auke, on vaid objektid, millel on tugev gravitatsiooniväli. Lihtsalt aegruum on neljamõõtmeline ja meie kolmemõõtmelises ruumis on seda keeruline päris õigesti kujutada.

Hobusepea udukogu (tuntud ka kui Barnard 33 udukogus IC 434) on tume udukogu Orioni tähtkujus, kus tähtede moodustumise protsess parajasti käib. Objekti nurgasuurus on 8 korda 6 nurgaminutit (näiteks Kuu nurgasuurus on 29–34 nurgaminutit), aga palja silmaga ei ole see sellegipoolest nähtav. Pilt on saadud viie erineva filtriga tehtud pilte kombineerides. Kokku on pildi saamiseks kulunud üle 900 minuti ekspositsiooniaega.

Tähed tekivad tähtedevahelisest keskkonnast ja selle protsessi algpõhjus on gravitatsioon.

Tähtedevahelise keskkonna moodustavad küllalt heas lähenduses gaas ja tolm. Keskmiselt on tolmu osakaal massi järgi vaid 1% ja gaasi osakaal 99%. Tolmuosakeste keskmine arvtihedus on 10⁻⁶ – 10⁻⁷ m⁻³, gaasiaatomitel 10⁶ m⁻³ (gaasi tihedus on seega 1 osake kuupsentimeetris). Aga gravitatsioonijõud mõjub ka sellises keskkonnas.

Tähtede teke algab, kui osa tähtedevahelisest keskkonnast − mõni eespool kirjeldatud tumedatest pilvedest − hakkab oma raskuse mõjul kokku tõmbuma. Seda nimetatakse gravitatsiooniliseks ebastabiilsuseks. Kokku tõmbudes pilve osad kuumenevad. Teatud ajal on temperatuur pilve tsentris tõusnud nii kõrgele, et algavad termotuuma reaktsioonid. Siis kokkutõmbumine peatub ja on sündinud täht.

Paneme siiski tähele, et selline on äärmuseni lihtsustatud skeem ning täheteadlased peavad vaatamata üha kasvavatele arvutusvõimsustele tähtede tekke numbrilistes mudelites mitmeid lihtsustusi tegema.

Mis määrab selle, milline tähtedevahelise gaasi pilv kokku tõmbuma hakkab? Pilves toimivad kaks vastandlikku protsessi: gravitatsioon mõjub tõmbavalt ja soojusliikumise kiirused mõjuvad hajutavalt. Tasakaalu gaasipilvedes uuris James Jeans ning vastavat stabiilsuse kriteeriumit nimetatakse Jeansi kriteeriumiks.

Ühe keha mõju teisele risti kokkupuutepinnaga on rõhumisjõud.

Keha võib teisi kehi mõjutada lisaks kaalule veel muudki liiki jõududega. Arvuti taga istuv õpilane toetub seljatoele, õhupalli puhutav õhk paneb selle paisuma, press surub korgitüki õhemaks, magnet hoiab nõela ... Mõjutatava keha jaoks pole seejuures oluline, mis liiki need jõud on. Tähtis on vaid jõu ja sageli ka mõjupinna suurus.

Et kõiki selliseid mõjusid saaks kirjeldada ühtse mudeli abil, on võetud kasutusele rõhumisjõu mõiste. Rõhumisjõuks nimetatakse jõudu, millega üks keha mõjutab teist risti kokkupuutepinnaga. Rõhumisjõu tähisena kasutatakse jõu üldtähist $\vec F$. Rõhumisjõud mõjub alati pinnaga risti.

Rõhumisjõud ja toereaktsioon on võrdsed ning vastassuunalised.

Vastavalt Newtoni III seadusele tekib keha mõjutamisel alati vastumõju ehk reaktsioon. Tegemist on jõuga, mida nimetatakse toereaktsiooniks. Rõhumisjõu toimel keha kuju muutub (keha deformeerub) ja see põhjustab vastassuunas mõjuva elastsusjõu, mis ongi toereaktsioon. Toereaktsiooniks nimetatakse rõhuvale kehale toetuspinnaga risti mõjuvat vastujõudu.

Kuna toereaktsioon on alati suunatud piki pinna ristsirget ehk normaali, on selle tähiseks käesolevas kursuses valitud $\vec N$. Rõhumisjõud ja toereaktsioon on alati võrdsed ja vastassuunalised:

N⃗=−F⃗

Kui teineteist mõjutavaid kehi ei või ette kujutada punktmassidena, kuna nende kuju on oluline, mõjub rõhumisjõud mingile konkreetse suurusega pinnale. Rõhumisjõu tagajärg sõltub selle pinna suurusest. Kui pind on suur, hajub jõud üle selle laiali ning mõju kindla suurusega pinnatükile jääb väiksemaks. Arvestamaks rõhumisjõu jaotumist mõjupinnale kasutatakse mõistet rõhk. Rõhuks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne rõhumisjõu F ja pindala S jagatisega. Rõhu tähiseks on $p$ (ld pressûra 'rõhk')

p=SF

Rõhu mõõtühik on 1 paskal – 1 Pa = 1 N/m². Ühik on nime saanud prantsuse füüsiku Blaise Pascali järgi.

Erinevalt jõust ei ole rõhk vektoriaalne suurus. Põhjus on selles, et rõhu leidmisel arvestatakse vaid pinnaga risti olevat jõudu. Näiteks gaasides ja vedelikes ei saagi me suunast üldse rääkida, kuna rõhk antakse edasi kõikides suundades ühtemoodi.

Rõhumisjõud

Rõhumisjõuks nimetatakse jõudu, millega üks keha mõjutab teist risti kokkupuutepinnaga.

Toereaktsioon

Toereaktsiooniks nimetatakse rõhuvale kehale toetuspinnaga risti mõjuvat vastujõudu.

Rõhk

Rõhuks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne rõhumisjõu F ja pindala S jagatisega.

Selgita, mille poolest erinevad mõisted kaal, rõhumisjõud ja toereaktsioon.

Solution

India elevandi mass on 5 tonni ja tema jalataldade kogupindala 0,2 m². Meie metsades elutseva metssea mass võib ulatuda 150 kilogrammini ja tema sõrapõhjade kogupindala on 200 cm². Kumb loomadest avaldab maapinnale suuremat rõhku?

Solution

Hõõrdejõud mõjub liikuvatele ja seisvatele kehadele.

Oletame, et inimene suudab lükata jõuga 500 N, ja oletame, et ta lükkab veoautot massiga 5000 kg. Selline jõud peaks veokile andma kiirenduse 0,1 m/s² ning 10 sekundiga läbiks see 5 m ja saavutaks kiiruse 5 m/s. Ometi ei jaksa ükski inimene viietonnist autot paigalt lükata. Miks?

Siin tuleb mängu uus jõuliik hõõrdejõud. Hõõrdejõud on väga oluline, kuna mõjub maapealsetes tingimustes kõikidele liikuvatele kehadele. Iga liikuv keha jääb hõõrdejõu tõttu lõpuks seisma, kui mingi muu jõud hõõrdejõude ei kompenseeri. Hõõrdejõu vähendamise vajadusega on kokku puutunud kõik suusatajad, seevastu teemeistrid näevad vaeva, et talvistel teedel hõõrdumist suurendada. Hõõrdejõuga seonduva tundmine on eluliselt tähtis.

Hõõrdejõud mõjub mitte ainult liikuvatele, vaid ka paigalseisvatele kehadele. Näiteks püsib veeklaas käes ja nael seinas just tänu hõõrdejõule.

Hõõrdejõud tekib alati kehade vahetul kokkupuutel, mõjub piki kokkupuutepinda ja on suunatud vastassuunas liikumisele.

Hõõrdejõuks nimetatakse jõudu, mis takistab keha liikumist või liikumahakkamist. Et jõud takistab liikumist, nimetatakse seda vahel ka takistusjõuks. Hõõrdejõud tekib alati kehade vahetul kokkupuutel, mõjub piki kokkupuutepinda ja on suunatud vastassuunas liikumisele. Seejuures on olemas mitmesuguseid võimalusi.

Seisuhõõrdumine esineb ka liikuvatel kehadel, näiteks rihma ja ratta vahel, mis masinaid ringi ajavad.

Näiteks on olemas võimalus, et mingi jõud püüab keha liikuma panna, kuid hõõrdumise tõttu jääb keha paigale. Nähtust, kus hõõrdejõu tõttu püsib keha paigal, nimetatakse seisuhõõrdumiseks. Seisuhõõrdejõud on alati suuruselt võrdne ja vastassuunaline jõuga, mis püüab keha liikuma panna.

Kui inimene kõnnib, siis on edasiviivaks jõuks hõõrdejõud. Et tald teekatte suhtes ei liigu, on siin tegemist just seisuhõõrdumisega. Ka see jõud, mis annab rihmülekande korral liikumise ühelt rattalt teisele üle, on seisuhõõrdejõud rihmarataste ja rihma vahel.

On ka võimalik olukord, kus keha liigub ning libiseb mööda teise keha pinda. Nähtust, kus hõõrdumine takistab mööda teise keha pinda libiseva keha liikumist, nimetatakse liugehõõrdumiseks. Liugehõõrdumise korral on hõõrdejõud suunatud alati liikumisele vastassuunas.

Liugehõõrdumise korral on hõõrdejõud suunatud liikumisele vastassuunas

Jõu suurus sõltub kokkupuutuvate pindade omadustest ning pindu kokku suruva jõu suurusest. Vastu mingit pinda surumisel mõjub kehale rõhumisjõuga võrdne vastassuunaline toereaktsioon N. Katsed näitavad, et liugehõõrdejõud on võrdeline kehale mõjuva toereaktsiooniga:

Fh=μN

Võrdetegurit μ (kreeka täht müü) selles valemis nimetatakse hõõrdeteguriks. Sageli, kui keha libiseb mööda horisontaalset pinda, on toereaktsioon arvuliselt võrdne kehale mõjuva raskusjõuga ja sel juhul

Fh=μmg

Avaldame hõõrdejõu valemist ([valem=15058]1.25[/valem]) hõõrdeteguri:

μ=NFh

Näeme, et hõõrdetegur on võrdne hõõrdejõu ja toereaktsiooni jagatisega.

Hõõrdeteguri mõõtmine lennujaamas maandumisrajal.

Hõõrdetegur ei iseloomusta mitte keha, millele hõõrdejõud mõjub, vaid libisevaid pindu. See sõltub kokkupuutuvate kehade materjalist, pindade töötlusest ja puhtusest. Samas ei sõltu hõõrdetegur kokkupuutepinna suurusest ega libisemise kiirusest, kui surve ja kiirus pole väga suured.

Hõõrdeteguri suurust saab määrata katseliselt. Siledate pindade vahelised hõõrdetegurid mõnede materjalide jaoks on esitatud järgnevas tabelis.

No data

Erinevate materjalide hõõrdetegureid: tabel

Hõõrdejõud võib olla nii kasulik kui ka kahjulik. Kui on vaja keha paigal hoida või pidurdada, peab hõõrdejõud olema võimalikult suur. Liikumist segavat hõõrdumist tuleb aga vähendada.

Et osata hõõrdumist muuta, on vaja teada, miks hõõrdumine üldse tekib. Hõõrdumisel on kaks peamist põhjust.

Esiteks põhjustab hõõrdumist pindade ebatasasus. Pinnakonarused jäävad üksteise taha kinni ja takistavad libisemist.

Teiseks põhjuseks on aineosakeste vahelised tõmbejõud. Väga siledad pinnad pääsevad teineteisele sedavõrd lähedale, et molekulidevahelised jõud kasvavad märgatavaks. Nii kleepuvad kokku kaks siledat plii- või klaasplaati.

Hõõrdejõu vähendamiseks kasutatakse määrimist. Määre tungib kokkupuutuvate pindade vahele ja surub need teineteisest eemale. Pinnakonarused ja molekulide tõmbejõud siis enam nii tugevasti mõjule ei pääse. Määrdena kasutatakse tavaliselt õlisid. Õlikihtide omavaheline liikumine tekitab küll teatavat takistust, kuid see on tavalisest hõõrdumisest tunduvalt väiksem.

Hõõrdumist saab suurendada pindade karestamise abil. Et tagada ohutu liiklemine, pinnatakse maanteed peene killustikuga ja liikluseeskiri nõuab piisavalt sügava mustriga autokummide kasutamist.

Suurema hõõrdumise saavutamiseks kasutatakse ka spetsiaalseid materjale, mis tagavad suurema hõõrdeteguri. Nii valmistatakse autode piduriklotsid vähekuluvast kuumakindlast ainest, mille hõõrdetegur kokkupuutel terasega ulatub väärtuseni 0,7.

Hõõrdejõud

Hõõrdejõuks nimetatakse jõudu, mis takistab keha liikumist või liikumahakkamist.

Hõõrdetegur

Liugehõõrdejõud on võrdeline kehale mõjuva toereaktsiooniga, vastavat võrdetegurit nimetatakse hõõrdeteguriks.

Seisuhõõrdumine

Nähtust, kus hõõrdejõu tõttu püsib keha paigal, nimetatakse seisuhõõrdumiseks. Seisuhõõrdejõud on alati suuruselt võrdne ja vastassuunaline jõuga, mis püüab keha liikuma panna.

Liugehõõrdumine

Nähtust, kus hõõrdumine takistab mööda teise keha pinda libiseva keha liikumist, nimetatakse liugehõõrdumiseks. Liugehõõrdumise korral on hõõrdejõud suunatud alati liikumisele vastassuunas.

Too näiteid seisu- ja liugehõõrdumise esinemisest.

Teatavasti takistab hõõrdejõud liikumist või liikumahakkamist. Kas hõõrdejõud võib ka liikumist tekitada?

Kui suur hõõrdejõud takistab 60 kg massiga kasti nihutamist mööda põrandat, kui hõõrdetegur pindade vahel on 0,3?

Fantaseeri teemal: Mis juhtuks, kui maailmast kaoks hõõrdumine.

Ema veab kelku horisontaalsel pinnal ühtlase kiirusega nii, et kelgu nöör moodustab maapinnaga nurga 60°. Kelgul istub laps, kelle mass on 20 kg. Kui suure jõuga peab kelku tõmbama, kui hõõrdetegur on 0,1?

Kelgu kaal koos koormaga on 700 N. Kui suure jõuga tuleb metalljalastega kelku mööda lund vedada, et see liiguks ühtlaselt?

Jääl libisev 156 g massiga jäätükk pidurdub kiirendusega –0,3 m/s². Arvuta hõõrdetegur.

Autokummide ja kiilasjää vaheline hõõrdetegur on 0,05. Kas auto saab hakata horisontaalsel kiilasjääga kaetud teel liikuma kiirendusega 0,4 m/s² või 0,6 m/s²?

Teame, et vastastikmõju üheks võimalikuks tagajärjeks on kuju muutumine. Keha kuju muutumist nimetatakse deformeerumiseks ning selle tagajärjel tekkivat kujumuutust deformatsiooniks (ld de- + fôrma 'ära, vastupidi + kuju').

Deformeerumine võib olla kas pöörduv või pöördumatu protsess. Kui keha pärast deformeeriva mõju lõppemist taastab oma esialgse kuju kas täielikult või osaliselt, on tegemist elastse deformatsiooniga. Absoluutselt elastse deformatsiooni korral taastub endine kuju täielikult. Kui pärast surve lõppu säilub deformeerimisel saadud kuju, on tegemist plastse deformatsiooniga.

Elastne, plastne ja habras deformatsioon.

Keha elastsus või plastsus sõltub selle materjalist ja kujust. Väga elastsed on näiteks terasvedru ja kumminöör ning plastsed pehme savi ja plastiliin. Paljude kehade korral on väikene deformatsioon elastne, kuid suure kujumuutuse järel nende kuju enam ei taastu. Niimoodi käitub näiteks alumiinium- või vasktraat.

Kui keha aga juba väga väikese deformatsiooni tagajärjel puruneb, siis öeldakse, et see on habras.

Keha kuju võib muutuda mitmel viisil. Näiteks saame kummipaela venitada, puuoksa painutada ja svammi kokku suruda. Selle põhjal, kuidas kuju muutub, eristatakse viit liiki deformatsioone: tõmme, surve, paine, vääne ja nihe.

Sageli ei pane me kehade kuju muutumist tähele, sest deformatsioon on väike. Kui keegi ronib näiteks suure kivirahnu otsa, siis ei suuda selle lamedamaks vajumist keegi ka luubiga vaadates märgata.

Kevadel on õunapuuoks täis õhkkergeid õisi. Siis hakkavad õitest õunad arenema ja viljad paisuvad ning muutuvad aina raskemaks. Kuidas need oksa küljes püsivad? Koos raskusjõu kasvamisega peab suurenema ka jõud, mis tasakaalustab raskusjõu. Kust on see jõud pärit ja milline on selle olemus?

Jälgides oksa juures toimunud muutusi, võib näha, et oks on paindunud. Oksa deformatsioon ongi uue jõu tekkimise põhjuseks. Jõudu, mis tekib keha kuju muutmisel ehk deformeerimisel, nimetatakse elastsusjõuks.

Elastsusjõud on deformatsiooniga alati vastassuunaline. Elastsusjõud püüab keha esialgset kuju taastada. Absoluutselt plastse deformatsiooni korral mingit kuju taastumist ei toimu ja järelikult puudub seda põhjustav jõud, st elastsusjõud on null.

Elastsusjõudude tekkepõhjuseks on aineosakeste vaheline vastastikmõju. Osakeste vahel esineb nii tõmbumine kui ka tõukumine, kusjuures mõlema tugevus sõltub vahekaugusest. Tavalises deformeerimata olekus on need jõud tasakaalus.

Elastsusjõud on deformatsiooniga vastassuunaline.

Kokkusurumisel osakeste vahekaugused vähenevad ning ülekaalu saavutavad tõukejõud, mis takistavad deformeerimist. Tõmbedeformatsioonil seevastu vahekaugused kasvavad ja ülekaalu jäävad venitamist takistavad tõmbejõud.

Elastsusjõudu võib kohata kõikjal ümberringi. Seda kasutatakse näiteks vibunoole lendulaskmisel, kellamehhanismis, soengute tegemisel (juuksekumm), ukse sulguris, dokumentide kooshoidmisel (kirjaklamber) jm. Elastsusjõuga on seotud kõik põrked. Elastsel põrkel taastab elastsusjõud põrandaga kokkupuutel deformeerunud palli kuju ja tõukab sellega palli vastassuunas liikuma. Plastse põrke korral jäävad kehad kokku ja liikumine muutub vähem.

Mõõtmised näitavad, et suhteliselt väikeste deformatsioonide korral tekkiv elastsusjõud on võrdeline kujumuutuse ehk deformatsiooni suurusega. Kujumuutust on kõige lihtsam mõõta tõmbe ja surve korral. Siis iseloomustab deformatsiooni alg- ja lõpp-pikkuse vahe ehk pikenemine, mida järgnevas tähistame sümboliga $\Delta l$ . Elastsusjõu sõltuvust pikenemisest kirjeldab valem:

Fe=−kΔl

Simulatsioon, mis võimaldab uurida vedru venitamisel tekkivaid jõudusid, samuti ka energiat, mis on võimalik vedru sisse salvestada.

Selle seaduspärasuse avastas 1660. aastal inglise füüsik ja loodusteadlane Robert Hooke. Tänapäeval tuntakse seda seost Hooke’i seaduse nime all. Miinusmärk viitab asjaolule, et elastsusjõud on suunatud alati deformatsiooni suunale vastupidiselt. Võrdetegurit $k$ nimetatakse deformeeritud keha jäikusteguriks ehk lihtsalt jäikuseks. Jäikustegur sõltub keha materjalist, mõõtmetest ja kujust ning selle mõõtühik on 1 N/m.

Hooke’i seadus kehtib vaid keha mõõtmetega võrreldes väikeste kujumuutuste korral, mil deformatsioon jääb absoluutselt elastseks. Suuremad deformatsioonid põhjustavad keha sisemises ehituses pöördumatuid muutusi ja seetõttu muutub ka esialgset kuju taastav elastsusjõud.

Deformeerumine ja deformatsioon

Keha kuju muutumist nimetatakse deformeerumiseks ning selle tagajärjel tekkivat kujumuutust deformatsiooniks.

Elastne deformatsioon

Kui keha pärast deformeeriva mõju lõppemist taastab oma esialgse kuju kas täielikult või osaliselt, on tegemist elastse deformatsiooniga.

Plastne deformatsioon

Kui pärast surve lõppu säilub deformeerimisel saadud kuju, on tegemist plastse deformatsiooniga.

Elastsusjõud

Jõudu, mis tekib keha kuju muutmisel ehk deformeerimisel, nimetatakse elastsusjõuks.

Hookei seadus

Mõõtmised näitavad, et suhteliselt väikeste deformatsioonide korral tekkiv elastsusjõud on võrdeline kujumuutuse ehk deformatsiooni suurusega.

Jäikustegur

Võrdetegurit Hooke'i seaduses nimetatakse deformeeritud keha jäikusteguriks ehk lihtsalt jäikuseks.

Millised nendest kehadest võib liigitada elastseteks ja millised plastseteks: a) pehme vaha; b) voolimismass; c) kummipall; d) piparkoogitainas; e) terasmõõdulint; f) martsipan; g) kustutuskumm?

Solution

Mis liiki deformatsioonid esinevad a) vibu vinnastamisel;b) dünamomeetriga mõõtmisel; c) pikale pingile istumisel;d) kellanupule vajutamisel; e) kruvi keeramisel?

Solution

Millised nendest jõududest on oma olemuselt elastsusjõud: a) raskusjõud; b) keha kaal; c) hõõrdejõud; d) toereaktsioon; e) magnetjõud?

Solution

Too näiteid elastsusjõu kasutamisest.

Solution

Millisel põrkel, kas elastsel või plastsel, mõjutab pall põrandat tugevamalt?

Solution

Millise suurusega elastsusjõud tekib vedrus jäikusega

20\, \mathrm{N/m}

, kui see suruda kokku

4\, \mathrm{cm}

võrra?

Solution

Kummipael pikeneb

100\, \mathrm{g}

massiga koormuse otsariputamisel

15\, \mathrm{cm}

võrra. Kui suur on paela jäikus?

Solution

Kui vedru venitada jõuga 10 N, siis pikeneb see 5 cm. Kui suur on sama vedru pikenemine venitamisel jõuga 15 N?

Solution

Sissejuhatus

Dünaamika on teadus kehade liikumisest, kui neile mõjuvad jõud. Kes tahab Kuule lennata, peab dünaamikat hästi teadma ja ei roni lennukiiruse saavutamiseks kahurisse.

Apollo 13 oli kosmoselaev, mis pidi sooritama Apollo programmi kolmanda Kuu pinnal maanduva lennu. Lend startis 11. aprillil 1970. Kaks päeva hiljem plahvatas kosmoselaeva üks hapnikumahutitest.

Õnnetuse hetkel oli Apollo Maast umbes 320 000 ja Kuust 72 000 km kaugusel ning liikus suurel kiirusel Kuu poole. Ehkki kosmoselaevas oli keeruline säilitada eluks tarvilikke tingimusi, otsustati jätkata lendu Kuu poole ning pöörduti tagasi alles pärast seda, kui oldi tehtud ring ümber Kuu. Miks see oli parem lahendus?

Võib-olla olete näinud, kuidas kosmoselaevad atmosfääri sisenedes pidurdavad ja sealjuures tulemöllu mattuvad. Ilma spetsiaalsete kaitsekihita põlevad atmosfääri sisenevad kosmoselaevad lihtsalt ära. Miks ei pidurdata kosmoselaevu enne atmosfääri sisenemist, et maandumist ohutumaks teha? Millise energia arvelt tekib kõrge temperatuur kosmoselaeva ümber?

1986. a kosmosesse lähetatud Mir (vk 'maailm; rahu') oli esimene orbitaaljaam ning toona suurim orbiidile tõstetud objekt. Kokkupanduna kaalus see 129 700 kg, oli 19 m pikk, 31 m lai, 27,5 m kõrge ning mahutas 350 m³ tööruume. Enam kui kümne aasta ja 86 000 orbiidi jooksul sooritasid kosmonaudid jaama pardal bioloogia, inimfüsioloogia, füüsika, astronoomia, meteoroloogia ning kosmosetehnoloogia alaseid eksperimente. Pärast korduvaid eluohtlikke õnnetusi ning süveneva rahapuuduse tõttu otsustati lagunev jaam 1999. a lõplikult maha jätta ning atmosfääris ära põletada. Viimnepäev lükati hõõguvates lootustes korduvalt edasi, ent 2001. a 23. märtsil sai orbitaalmanööver teoks. Mir sisenes Fiji saarestiku kohal 100 km kõrgusel atmosfääri. Saarte elanikud said osa suurejoonelisest vaatemängust, kui kosmosejaama põlevad plasmast ümbritsetud jupid üle Vaikse ookeani lõunaosa taevalaotuse kihutasid.

Selline näeb välja Apollo 12 maandumiskapsli kuumuskilp pärast maandumist.

Põhinähtus, mida mehaanika kirjeldab ja uurib, on liikumine. Liikumist võib muuta vastastikmõju abil. Vastastikmõju võib esile kutsuda ka kehade kuju muutumist ehk deformeerumist, mis oma olemuselt on samuti liikumine. Deformeerunud kehad võivad omakorda jälle liikumist esile kutsuda või muuta. Näeme, et liikumine ja vastastikmõju on tihedalt seotud ning määravad ära kehade erinevad seisundid ehk olekud. Sellised olekud võivad muutuda või olla püsivad. Kehade mehaanilist olekut saab muuta nende asukoha, liikumise või kuju muutmise teel. Oleku muutmise protsess on töö. Tööks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilise oleku muutmise protsessi kirjeldavat suurust.

Töö on võrdne liikumise sihilise jõu komponendi ja teepikkuse korrutisega.

Kuna oleku muutust põhjustab vastastikmõju, siis sõltub ka tehtava töö hulk vastastikmõju tugevusest ehk kehale mõjuvast jõust. Seejuures läheb arvesse vaid jõu liikumise sihiline komponent. Veel oleneb tehtav töö läbitud teepikkusest $s$ . Kui töö tähiseks võtta $A$ (sks arbeit 'töö'), saame ülaltoodut arvestades töö definitsioonivalemiks

A=Fscosα

kus $\alpha$ on nurk keha liikumissuuna ja jõu mõjusuuna vahel ning $F \cdot \cos \alpha$ seega jõu liikumissihiline komponent.

SI süsteemis mõõdetakse jõudu njuutonites ja teepikkust meetrites. Seega on valemi (2.1) järgi tööühikuks töö, mida teeb $1 \text{ N}$ suurune jõud, nihutades keha $1 \text{ m}$ võrra. Seda tööühikut nimetatakse džauliks ( $1 \text{ J}$ ).

1 J=1 N⋅1 m

Kui räägitakse keha liikumisel tehtavast tööst, saab eristada kaht olukorda. Esimesel juhul mõjub jõud liikumisega samas, teises aga sellega vastupidises suunas. Mille poolest erinevad neil juhtudel tehtavad tööd?

Kui liikumine toimub jõuga samasuunaliselt, aitab jõud liikumisele kaasa. Sama võib öelda ka siis, kui liikumissuuna ja jõu vaheline nurk on alla 90°. Nimetatud tingimustel tehtavat tööd loetakse positiivseks. Näiteks teeb positiivset tööd atra vedav hobune.

Vastupidi, kui jõud takistab liikumist, on liikumisega vastassuunaline või mõjub nürinurga alla, nimetatakse tehtud tööd negatiivseks. Mõnikord öeldakse sellisel juhul, et keha töötab jõule vastu. Näiteks hõõrdejõud teeb alati ainult negatiivset tööd.

Et töö saab olla nii positiivne kui ka negatiivne, võib näha ka valemist (2.1), mis sisaldab tegurit $\cos \alpha$ :

kui α<90∘, siiscosα>0

kui 90∘<α<180∘, siiscosα<0

Kui jõud on liikumisega risti, siit tööd ei tehta ( $\cos 90^\circ = 0$ ).

Töö

Tööks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilise oleku muutmise protsessi kirjeldavat suurust. Tehtava töö hulk vastastikmõju tugevusest ehk kehale mõjuvast jõust kujul

A=Fs \cos \alpha

Tööks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilise oleku muutmise protsessi kirjeldavat suurust. Tehtava töö hulk vastastikmõju tugevusest ehk kehale mõjuvast jõust kujul

A=Fscosα

Positiivne ja negatiivne töö

Kui liikumine toimub jõuga samasuunaliselt, aitab jõud liikumisele kaasa ja tehtavat tööd loetakse positiivseks. Vastupidi, kui jõud takistab liikumist, on liikumisega vastassuunaline või mõjub nürinurga all, nimetatakse tehtud tööd nega

Kui palju tööd teeb jõuluvana vedades kingikotiga kelku mööda 2 km pikkust teed, tõmmates kelgunööri jõuga 15 N? Nurk kelgunööri ja maapinna vahel on 30º.

Milliste loetletud näidete puhul on füüsika tähendusestegemist tööga: a) füüsikaülesande lahendamine;b) sangpommi käeshoidmine; c) puu otsa ronimine;d) Kuu tiirlemine ümber Maa; e) vibu vinnastamine?

Milliste loetletud näidete puhul on füüsika tähenduses tegemist tööga?

Ema lükkab lapsevankrit liivasel teel 100 m edasi jõuga 0,1 kN. Kui palju vett võiks selle tööga tõsta välja 5 m sügavusest kaevust? Raskuskiirenduseks võtke 10 m/s².

Millal ei tee kehale mõjuv jõud keha nihke korral tööd?

Milline järgmistest ühikutest on töö ühik?

Liikumatu ploki abil koormust nihutades teeb inimene tööd, kuigi ta võib rakendada jõudu, mis on risti koormuse nihkega. Seletage näivat vasturääkivust.

Puuklots tõstetakse algul 2 m kõrgusele, seejärel aga nihutatakse piki pinki 2 m kaugusele. Võrrelge tehtud töid. (Hõõrdetegur on väiksem kui 1.)

Autorehv tõstetakse algul 2 m kõrgusele, seejärel aga nihutatakse piki pinki 2 m kaugusele. Võrrelge tehtud töid. Arvestage, et hõõrdetegur on suurem kui 1.

Metallkuul langeb vabalt mingilt kõrguselt. Kas raskusjõu poolt järjestikes võrdsetes ajavahemikes tehtud tööd on võrdsed?

Analoogiliselt tööga tähistab kõnekeeles sõna võimsus üsna laia mõistete ringi. Selle sõnaga iseloomustatakse kõike, mis on vägev, tugev, suur ja vapustav. Füüsikas on sellel suurusel aga üsna konkreetne tähendus.

Võrdse tööhulga tegemiseks võib erinevatel juhtudel kuluda erineval hulgal aega. Ühel töömehel kulub 1000 tellise kolmandale korrusele tassimiseks terve päev, kraana teeb sama töö aga vähem kui minutiga. On selge, et kraana on töömehest võimsam.

Füüsikas mõeldakse võimsuse all töö tegemise kiirust. Võimsus on määratud tehtud töö hulga $A$ selle töö tegemiseks kulutatud ajavahemiku $t$ suhtega. Valemites tähistatakse võimsust ladina suurtähega $N$ :

P=tA

Võimsus näitab, kui palju tööd tehakse ajaühikus.

Et tööd mõõdetakse džaulides, tuleb võimsuse ühikuks J/s, mis kuulsa inglise leiutaja ja füüsiku J. Watti auks kannab nime vatt (W).

1 s1 J=1 W

Võimsus pole ainult mehaanikas kasutatav suurus, vaid esineb kõikjal füüsikas. Nii näitab triikraua võimsus seda, kui palju teeb elekter tema soojendamiseks tööd igas sekundis.

Mõningase ülevaate võimalikest võimsustest annab see tabel:

No data

Erinevate seadmete ja elusolendite võimsusi

Võimsus

Võimsus näitab, kui palju tööd tehakse ajaühikus.

Kui võimas mootor on kraanal, mis suudab tõsta 0,5-tonnise ehitusploki 20 m kõrgusele 30 sekundiga?

Solution

Millise veekoguse tõstab 500 W võimsusega pump 1 tunniga 5 m kõrgusel asuvasse mahutisse?

Solution

Kui suur võimsus on kosel, kus 6 m kõrguselt kukub igas sekundis alla 5,7 kuupmeetrit vett?

Solution

Kui töö abil kirjeldatakse mehaanilise oleku muutumise protsessi, siis olekut ennast iseloomustatakse energia abil. Energiaks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilist olekut kirjeldavat suurust, mis näitab võimet teha tööd.

Mehaanilist energiat tingib liikumine või jõud.

Energia mõõtühikuks on töö, mida teeb 1 N suurune jõud keha nihutamisel 1 m võrra. Seda ühikut nimetatakse džauliks (J). 1 J = 1 N·1 m = 1 N·m.

Tööd saab teha väga erinevatel viisidel. Näiteks võivad tööd teha liikuv haamer, väljavenitatud vedru, kuum aur, elektrivool ja plahvatusreaktsioon. Järelikult on ka energialiike mitmeid erinevaid. Liikumise ja kehade vahel mõjuvate jõududega kaasnev energia on mehaaniline energia.

Mehaanikas eristatakse liikumisenergiat ja vastastikmõju energiat. Keha liikumisolekust tingitud energiat nimetatakse kineetiliseks energiaks (kr κινημα 'liikumine').

Kineetiline energia on tingitud liikumisest.

Leiame, kui suurt kineetilist energiat omab keha massiga $m$ , mis liigub kiirusega $v$ . See energia on võrdne tööga, mis tehakse paigalseisvale kehale sellise kiiruse andmisel. Lugedes liikumist ühtlaselt muutuvaks, võib kiirendamise kestel läbitud teepikkuse leida kinemaatikas õpitud avaldisest:

s=2av2−v02=2av2

Kuna kiirendus on vastavalt Newtoni II seadusele võrdeline jõuga $F$ ja pöördvõrdeline massiga $m$ , saame teepikkuse avaldiseks

s=2Fmv2

Tehtav töö on võrdne jõu ja teepikkuse korrutisega. Just nii suure energia keha kiirendamise käigus omandaski. Võttes kineetilise energia tähiseks $E_k$ , saame kineetilise energia valemiks

Ek=2mv2

Näeme, et kineetiline energia on võrdeline keha kiiruse ruudu ja massiga.

Kui liikuvatel kehadel on kineetiline energia, siis mitmest omavahel vastastikmõjus olevast kehast koosnevad süsteemid omavad potentsiaalset energiat. Potentsiaalseks energiaks nimetatakse kehade vahel mõjuvatest jõududest tingitud energiat. Nimetus on tulnud ladinakeelsest sõnast potentia, mis tähendab võimet või väge.

Potentsiaalne energia on vastastikmõju energia.

Väljavenitatud vedru ja mäetippu veeretatud kivi võivad tööd teha, kui need lahti pääsevad, aga ei pruugi pääseda ja tööd teha. Erinevalt liikumisenergiast, mis on loomu poolest aktiivne (toimub asukoha muutumine) on potentsiaalne energia passiivne ja varjatud.

Vedru energia sõltub sellest, kui pikaks me selle venitame, ülestõstetud kivi energia aga tõstmise kõrgusest. Potentsiaalne energia sõltub alati kas keha enda osade või selle ja teiste kehade vastastikusest asendist.

Leiame ülestõstetud keha potentsiaalse energia. Kui kõrgusele $h$ tõstetud keha, mille mass on $m$ , lahti pääseb, läbib see kukkudes teepikkuse $s = h$ ja raskusjõu $F = mg$ poolt tehtav töö $A = Fs = mgh$ . Et kogu see töö tehakse potentsiaalse energia arvel, saamegi energia jaoks avaldise:

Ep=mgh

Ülestõstetud keha potentsiaalne energia on võrdeline massi ja kõrgusega. Et kõrgust $h$ tuleb mõõta alati mingi taustkeha (näiteks maapinna) suhtes, sõltub potentsiaalne energia nullnivoo valikust.

Mõnel juhul võib kõrgus tulla negatiivne, näiteks mõõtes kivi asukohta augus. Nii saab potentsiaalne energia olla erinevalt kineetilisest ka negatiivne.

Kineetilise ja potentsiaalse energia summa on mehaaniline koguenergia.

Ühel kehal võib samaaegselt olla nii kineetiline kui ka potentsiaalne energia. Näiteks on langeval vihmapiisal nii kukkumise kineetiline kui ka Maa külgetõmbe potentsiaalne energia. Keha või kehade süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia summat nimetatakse mehaaniliseks koguenergiaks:

E=Ek+Ep=const

Energia

Energiaks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilist olekut kirjeldavat suurust, mis näitab võimet teha tööd.

Mehaaniline energia

Liikumise ja kehade vahel mõjuvate jõududega kaasnev energia on mehaaniline energia.

Kineetiline energia

Keha liikumisolekust tingitud energiat nimetatakse kineetiliseks energiaks. Kineetiline energia on võrdeline keha kiiruse ruudu ja massiga.

Potentsiaalne energia

Potentsiaalseks energiaks nimetatakse kehade vahel mõjuvatest jõududest tingitud energiat.

Mis liiki mehaanilist energiat omavad need kehad: a) täispuhutud õhupall; b) jääl liuglev iluuisutaja; c) laual seisev vaas; d) kõrvale kallutatud pendel; e) pöörlev vurr?

Solution

Kui suur on taburetil asuva 16 kg massiga sangpommi potentsiaalne energia põranda ja laua suhtes? Tabureti ja laua kõrgused on vastavalt 40 ja 80 cm.

Solution

Kui suur kineetiline energia on 57 g massiga tennisepallil, mis lendab kiirusega 45 m/s?

Solution

Mitu korda suureneb energia autol, mille kiirus tõuseb esialgsega võrreldes kahekordseks?

Solution

Millest koosneb mehaaniline koguenergia nende kehade puhul: a) katset sooritav suusahüppaja; b) üles visatud kivi; c) võnkuv kellapendel; d) batuudiharjutust sooritav võimleja.

Solution

Väikelennuk Cessna, mille mass on 1,7 tonni, lendab kiirusega 270 km/h. Kui suur on selle koguenergia 500 m kõrgusele jõudmisel?

Solution

Kõik me oleme kogenud, et lendu visatud kivi kõrgus ja kiirus muutuvad. Sellega koos muutuvad ka kivi kõrgusest sõltuv potentsiaalne ja kiirusest sõltuv kineetiline energia. Analüüsime vabalt langeva keha mehaanilise energia muutumist lähemalt.

Kuna kukkumisel mõjub kehale raskusjõud ning toimub liikumine, tehakse potentsiaalse energia kahanemise arvel tööd. Maapinnale jõudmise hetkeks on kogu potentsiaalne energia ära kulutatud. Järelikult on kukkumise käigus tehtud töö võrdne kulunud potentsiaalse energiaga:

A=mgh

Töö on keha mehaanilise oleku muutumise protsess. Raskusjõud teeb tööd ning selle käigus muutub keha kiirus. Mehaanilise energia mõiste avamise juures selgus, et kui jõud paneb keha liikuma, on tehtav töö võrdne kehale antava kineetilise energiaga:

A=2mv2

Näeme, et tehtud töö käigus on keha potentsiaalne energia muundunud keha liikumis- ehk kineetiliseks energiaks. Seega ei lähe energia kukkumise käigus mitte kaduma, vaid mehaaniline energia muundub ühest liigist teise. Kukkuva keha potentsiaalne energia muundub kineetiliseks energiaks. Ülesvisatud keha tõusmisel toimub vastupidine protsess – kineetiline energia muundub potentsiaalseks. Võnkumise käigus kordub selline ühest liigist teise ja tagasi muundumine perioodiliselt.

Energia kandub edasi ühelt kehalt teisele.

Esineb ka selliseid protsesse, mille käigus mehaanilise energia liik ei muutu, kuid milles toimub energia ülekandumine mõnele teisele kehale. Nii antakse elastsel põrkel ühelt metallkuulilt teisele edasi kineetiline energia. Vedru otsa riputatud koormis annab allapoole vajudes oma potentsiaalse energia venivale vedrule üle.

Mehaanilise energia ülekandumine ja muundumine võivad toimuda ka samal ajal. Nii läheb vinnastatud vibu potentsiaalne energia üle noolele ning muundub samal ajal kineetiliseks.

Mehaanilise energia muundumine ja ülekandumine

Kehade liikumisel mehaaniline energia ei kao, vaid kas muundub ühest liigist teise (kineetilisest potentsiaalseks või vastupidi) või kandub üle teistele kehadele.

Millised mehaanilise energia muundumised ja ülekandumised leiavad aset nendes näidetes: a) batuudihüpped; b) ragulkaga märkilaskmine; c) suusahüpe; d) lennuki surmasõlm; e) golfipalli lendulöömine?

Solution

Äsja nägime, et mehaaniline energia võib muunduda potentsiaalsest kineetiliseks ja vastupidi ning kanduda ühelt kehalt teistele. Kui muundumise ja ülekandumise käigus pole vaja näiteks hõõrdumise ületamiseks täiendavat tööd teha, jääb potentsiaalse ja kineetilise energia summa alati muutumatuks. Potentsiaalse energia vähenemisel kasvab kineetiline energia täpselt sama hulga võrra. Kui keha annab oma energiat teisele kehale ära, saab see täpselt sama palju juurde.

See kehtib muidugi vaid suletud süsteemis, kuhu kuuluvad kehad pole süsteemivälistega vastastikmõjus ega saa nendega energiat vahetada.

Mehaanilise energia jäävuse seadust on tähtis teada ja sellest aru saada.

Arvukad vaatlus- ja katsetulemused kinnitavad, et mehaaniline koguenergia on jääv. Pole täheldatud ühtegi protsessi, mis oleks selle tulemusega vastuolus. Seega võime sõnastada ühe olulisema loodusseaduse – mehaanilise energia jäävuse seaduse: suletud süsteemi kuuluvate kehade mehaaniline koguenergia on jääv. Süsteemi kehade energia võib muunduda ühest liigist teise või kanduda ühelt kehalt teisele, kuid kineetilise ja potentsiaalse energia summa ei muutu, st see jääb konstantseks (ld cônstâns 'muutumatu').

Mehaanilise energia jäävuse seadust väljendab avaldis

Ek+Ep=\rmconst

Tuleb silmas pidada, et see jäävusseadus kehtib vaid süsteemides, milles mehhaaniline energia ei muundu mittemehaanilisteks energialiikideks, näiteks hõõrdumisel ja mitteelastsel põrkel soojuseks või tuulegeneraatoris elektrienergiaks.

Eespool nägime, et ühe ja sama töö tulemusena väheneb potentsiaalne energia ning niisama palju suureneb kineetiline energia. Sellest järeldub, et töö on võrdne ühest liigist teise muundunud energia hulgaga.

Kui süsteem pole suletud, võib tehtava töö tulemusena mehaaniline energia muunduda mittemehaaniliseks. Võimalik on ka vastupidine protsess, kus välise energia arvel tehtav töö suurendab süsteemi mehaanilist energiat. Mõlemal juhul mehaaniline koguenergia muutub, kusjuures muut $\Delta E_\text{meh}$ on võrdne süsteemiväliste jõudude tööga:

ΔEmeh=Avälis

Pidurdamisel muutub kihutava auto kineetiline energia hõõrdejõu töö tagajärjel soojuseks, mis paneb kummid lausa suitsema. Seevastu mootoris bensiini põlemisel eralduva soojuse arvel tehtav töö annab autole kineetilise energia.

Süsteemiväliste jõudude töö muudab mehaanilist energiat.

Seos ([valem=15110]2.13[/valem]) võimaldab mehaanilise energia jäävuse seaduse rakendamist laiendada. Näiteks saame seda kasutades hõõrdeteguri kaudu välja arvutada auto pidurdusteekonna pikkuse. Selleks tuleb sõiduki kineetiline energia võrdsustada hõõrdejõu pidurdava tööga, mis on võrdne jõu ja teepikkuse korrutisega. Saadud seosest on pidurdustee pikkuse avaldamine lihtne:

2mv2=Fh⋅s=μmgs⇒s=2μgv2

Suurt osa meie ümber toimuvatest nähtustest ei saa selgitada ainult mehaanikaseaduste abil. Mehaanika kirjeldab ja uurib liikumist. Lisaks liikumisele kirjeldab füüsika veel näiteks soojust ja valgust, elektri ja magnetismi nähtuseid, aatomites ja tuumades toimuvat ...

Need nähtused on väga erinevad, kuid siiski omavahel seotud. Kõiki nähtusi ühendavaks lüliks on energia. Erinevate nähtuste juures avalduvad erinevat liiki energiad. Lisaks mehaanilisele energiale tuntakse veel keemilist, elektromagnetilist, tuuma- ja soojusenergiat.

Kui vaadata kõiki energialiike tervikuna, kehtib üldine energia jäävuse seadus: suletud süsteemi koguenergia on ajas muutumatu. Energialiik pole oluline. Peaasi, et puudub energiavahetus süsteemist väljapoole. Energia ei saa tekkida eimillestki ega kaduda olematuks.

Tänapäeval peavad füüsikud meie universumit suletud süsteemiks. Kui see tõsi on, peab selles leiduva energia koguhulk olema jääv. Energia saab vaid kehalt kehale üle kanduda või mis tahes liigist mis tahes teiseks liigiks muunduda.

Põhjalikumalt tutvustatakse energiaga seonduvat füüsika neljanda kursuse käigus.

Mehaanilise energia jäävuse seadus

Suletud süsteemi kuuluvate kehade mehaaniline koguenergia on jääv.

Süsteemiväliste jõudude töö

Kui suletud süsteemi kuuluvate kehade mehaaniline koguenergia muutub, siis on see muutus võrdne süsteemiväliste jõudude tööga.

Üldine energia jäävuse seadus

Suletud süsteemi koguenergia on ajas muutumatu.

Leia mehaanilise energia jäävuse seadust kasutades 10 m kõrguselt kukkuva kivi kiirus maandumisel.

Solution

Teivashüppaja, kelle raskuskese asub maapinnast 1,1 m kõrgusel, saavutab hoojooksul kiiruse 9,5 m/s. Milline on suurim kõrgus, mida tal on võimalik ületada, kui kogu liikumisenergia muutuks potentsiaalseks?

Solution

Leia pidurdustee pikkus auto jaoks, mis sõidab kiirusega 54 km/h teel, mille hõõrdetegur on 0,7.

Solution

Kummipall kukub 5 m kõrguselt. Millisele kõrgusele lendab see tagasi, kui põrkel muutub pool energiast soojuseks?

Solution

Energia jäävuse seadused looduses ja tehnikas

Energia jäävus on üldine loodusseadus ning puudutab suuremal või vähemal määral kõiki nähtusi. Sellegipoolest saab nii looduses kui ka tehnikas välja tuua valdkonnad, mis on energia ning selle muundumise ja jäävusega otseselt seotud. Nendeks on energia kasutamine, saamine, transport ja salvestamine. Tutvume mõne näitega lähemalt.

Jõumasinad teevad välise energia arvel tööd.

Energia kasutamine on seotud eelkõige tööga, mida selle arvel teha saab. Kuna energia ei teki eimillestki, saab tööd teha vaid mingi energiaallika olemasolul. Kõik loomad – inimesed nende hulgas – vajavad ringi liikumiseks ning toimetamiseks energiat, mida nad saavad toidust. Inimesed on oma elu lihtsamaks muutmiseks leiutanud masinaid, mis töö nende eest ära teevad. Masinaid, mis välise energia arvel tööd teevad, nimetatakse jõumasinateks ehk mootoriteks.

Jõumasinate käimapanekuks kasutatakse erinevaid energialiike. Tuule kineetiline energia paneb tööle tuuleturbiinid ning kõrgele kogutud vee potentsiaalne energia käivitab hüdroturbiine. Sõidukite liikumapanekuks kasutatakse enamasti mootoreid, milles tehakse tööd kütuse põlemisel eralduva soojusenergia arvel. Järjest enam rakendatakse tööstuses ja majapidamises elektrienergiat tarbivaid masinaid.

Üks paljudest igavese jõumasina projektidest. Ka see konkreetne ei tööta.

Jõumasinate tarbeks energia hankimine on alati seotud kulutustega. Seepärast on juba ammustest aegadest saati üritatud ehitada masinaid, mis töötaksid lõputult ilma välise energiaallikata. Igavese jõumasina ehk perpetuum mobile (ld 'igavesti liikuv') loomine pole energia jäävuse seaduse kohaselt võimalik. Energia jäävuse seaduse järgi ei saa ükski masin teha rohkem tööd, kui see selleks kulutab. Veel enam: hõõrdumise tõttu pole võimalik ehitada isegi igiliikurit, mis ei teeks küll tööd, kuid säilitaks liikumise. Nii ei võtagi patendibürood enam läbivaatamiseks igaveste jõumasinate projekte, mis leiutajate arvates peaksid töötama lõputult eimillegi arvel.

Jäävusseadus ütleb, et energia ei saa kaduda. Miks siis räägitakse, et kui me energiat kokku ei hoia, lõpeb see varsti otsa? Asi on selles, et töö tegemisel muutub energia mingist ühest liigist teise. Vastupidine muundumine aga sama lihtsasti toimuda ei saa.

Kui põletatakse naftat, siis selles leiduv süsinik ja vesinik reageerivad hapnikuga, tekib süsihappegaas ja veeaur ning selle käigus vabaneb soojus- ja valgusenergia, mida siis inimene kasutab. Ka vastupidine protsess on võimalik. Taimed võtavad juurtega maast vett ja lehtedega õhust süsihappegaasi ning sünteesivad Päikeselt tulevat valgusenergiat kasutades need biomassiks. Just selle nn fotosünteesi teel toodetud biomass ladestus miljonite aastate kestel kivimikihtide vahele. Biomassist tekkis päikeseenergiat salvestanud kivisüsi, nafta ja maagaas, mida me tänapäeval fossiilsete kütustena kaevandame ja põletame.

Energiat saab kerge vaevaga muundada vaid ühes suunas. Vastupidine protsess on keerukas ja aeglane. Seepärast tuleb eelistada energiaallikaid, mille taastumine toimub kiiresti. Maised energiaallikad taastuvad Päikeselt tuleva kiirguse arvel. Päike paneb kineetilist energiat andes õhu tuulena liikuma ja tõstab potentsiaalset energiat andes vee meredest jõgedesse. Taimed talletavad Päikeselt tulevat energiat, tootes tselluloosi, tärklist, õli ja suhkrut.

Päike kiirgab Maale tohutul hulgal energiat veel mitme miljardi aasta kestel. Inimese ülesanne on seda paremini kasutama õppida.

Üks huvitav ja mitmeid rakendusi leidnud nähtus, mida saab selgitada mehaanilise energia jäävuse seaduse kaudu, puudutab gaaside ja vedelike voolamist. Tutvume sellega lihtsustatud käsitluse kaudu.

Oletame, et ideaalne (s.o kokkusurumatu ja mitteviskoosne) vedelik voolab torus, mille läbimõõt pole kõikjal ühesugune. Siis toru erinevaid ristlõikepindu läbib sama ajaga alati sama ruumalaga vedelikukogus. On selge, et sellisel juhul peab voolukiirus toru peenemates osades olema suurem kui jämedamates.

Kui toru peenemas osas on vedeliku kiirus suurem, siis on seal suurem ka selle kineetiline energia. Hõõrdumise puudumisel on vedeliku mehaaniline energia jääv. Kui kineetiline energia suureneb, peab potentsiaalne samavõrra vähenema. Potentsiaalne energia on aga teatavasti tingitud süsteemi sees mõjuvatest jõududest. Antud juhul on tegemist vedeliku rõhumisjõududega. Näeme, et mida suurem on voolukiirus, seda väiksem on selles kohas vedeliku rõhk. Sama kehtib ka gaaside voolamisel.

Kirjeldatud seaduspärasuse avastas 1738. aastal šveitsi matemaatik ja füüsik Daniel Bernoulli. Tänapäeval tuntakse seda Bernoulli printsiibi nime all: voolava gaasi või vedeliku rõhk on suurem nendes piirkondades, kus kiirus on väiksem, ja väiksem seal, kus kiirus on suurem.

Suure voolukiiruse alas on rõhk väiksem ja pall püsib seal

Bernoulli printsiipi kasutatakse mitmesuguste füüsikaliste nähtuste selgitamiseks. Näiteks võib öelda, et tormituul tõstab majalt katuse lendu sellepärast, et maja sees, kus õhk on paigal, on rõhk suurem kui katuse kohal tuule käes ja katus surutaksegi alt üles. Või siis pallimängudes, kus saab väita, et pöörlevana lendu löödud pall kaldub otsesihist kõrvale, kuna õhu liikumise kiirus selle eri külgedel on erinev ja tekib rõhkude vahe. Analoogiliselt seletatakse ka lennuki tiiva tõstejõudu – tiiva asendi ja erilise kuju tõttu voolab õhk selle kohal kiiremini kui all, nii on tiiva all rõhk suurem ja see hoiabki lennukit õhus. Peab siiski ütlema, et kuigi nende nähtuste seletustes Bernoulli võrrandi alusel on tera tõtt, ei ole need paljudes põhiküsimustes täielikud. Sest Bernoulli printsiip kehtib vaid voolutorus, aga seda ei saa rakendada seeläbi, et me võrdleme üksteisest eraldatud vedelike (või gaaside) voolusid (nagu ühel ja teisel pool katust, palli või lennuki tiiba). Teiseks, Bernoulli printsiip kehtib vaid ideaalsete vedelike (ja gaaside) korral. Samas reaalsete vedelike liikumine on väga keerukas nähtus, mida ka tänapäeval täielikult ei mõisteta.

Daniel Bernoulli

Bernoulli printsiip leiab rakendust lennunduses. Joonisel on näha, et tiivaprofiili ülemisel küljel on gaasi voolukiirus suurem, kui alumisel küljel. Järelikult on ka tiiva alumisele küljele mõjuv rõhk väiksem ning tekib tõstejõud.

Jõumasinad

Masinaid, mis välise energia arvel tööd teevad, nimetatakse jõumasinateks ehk mootoriteks.

Energiaallikad

Energiat saab kerge vaevaga muundada vaid ühes suunas. Vastupidine protsess on keerukas ja aeglane. Seepärast tuleb eelistada energiaallikaid, mille taastumine toimub kiiresti.

Millise energia arvel tehakse tööd nendes masinates: a) aurumasin; b) tuuleveski; c) ilutulestiku rakett; d) trollibuss; e) jalgratas; f) vesiratas?

Solution

Kui elektrigeneraatorist toita mootorit, mis seda sama generaatorit ringi ajab, peaks selline süsteem igavesti töötama ja elektrit andma. Kas selline mõttekäik on õige?

Solution

Üks omal ajal väljapakutud igiliikur kujutab endast metallkuulidest ketiringi, mis on asetatud kolmnurkse ristlõikega alusele. Kuna alus pole sümmeetriline, toetub selle kummalegi poolele erinev arv kuule. Kett peaks hakkama liikuma, kuna suurema kuulide arvuga ketiosa (A-B) on tipust teisele poole jäävast osast (B-C) raskem. Miks kuulid siiski liikuma ei hakka?

Solution

Kosmoselaevade kiirus Maa orbiidil või Kuu poole lennates on tohutu, üle kaheksa kilomeetri sekundis. Just sellise kiiruse saavutamiseks kulub kanderakettidel põhiline kütus. Kui prooviksime mootorite abil ka kosmoselaevu aeglustada, siis kuluks kütust kaks korda rohkem (energia jäävuse seadus) ja see ei ole hea lahendus – mida suurem stardimass, seda kulukam start. Pigem rammida atmosfääri.

Apollo 13 oleks pidanud poolelt teelt tagasi pöördumiseks käivitama hooldusmooduli mootori, et kõigepealt seisma jääda ja siis tagurpidi liikuma hakata. Seda ei juletud teha – plahvatus arvatavasti rikkus selle mootori. Selle asemel kasutati Kuu gravitatsioonijõudu – kosmoselaev sattus selle haardesse ning visati nagu linguga Maa poole tagasi. Jah, selle manöövri tulemusena muutus õige pisut ka Kuu kiirus.

Purunenud majad Mexicos. Madalad ja kõrged hooned on terved, ümber on kukkunud keskmise kõrgusega hooned.

Rippsild, mis 1831.a. ratsaväe ülemarsi ajal kokku varises. Pilt on tehtud pärast silla taastamist.

1985. aastal kukkusid maavärina tõttu Mexicos kokku paljud keskmise kõrgusega hooned. Kõrgemad ja madalamad hooned jäid püsti (vaata pilti). Inglismaal Manchesteri lähedal ületasid ratsaväelased 1831. aastal silda ning marssisid ilmselt samas taktis silla võnkumisega. Sild kukkus kokku pärast seda, kui üks silda toetanud polt purunes.

Umbes 30 m läbimõõduga kraater, mis tekkis 14. aprillil 1970. a kokkupõrkel Kuuga. See asub Mare Cognitumist põhjas –2,55° laiuskraadil ja –27,88° pikkuskraadil.

Enne kui Apollo 13 avariisse sattus, suunati üks tema kiirendusrakette otsekursile Kuu suunas, nii et see rammis suurel kiirusel Kuu pinda. Miks seda tehti? Kuidas on võimalik kosmoselaevade trajektoore nii täpselt planeerida, et kiiresti tabatakse väga kaugel olevaid ja väga kiiresti liikuvaid objekte?

Kõik me oleme näinud pilte Maa sisemusest. Kuidas on see info saadud, kui puuraugud ulatuvad vaid väga pindmiste kihtideni?

Ringliikumine on kõverjoonelise liikumise erijuht, kus keha punktide trajektooriks on ringjoon või selle osa. Tegemist on lihtsaima kõverjoonelise liikumisega, mille seadusi tundes on võimalik kirjeldada ka keerulisemaid liikumisi. Saab ju erinevate ring- ja sirgjooneliste lõikude kombineerimisel kokku panna mis tahes kujuga trajektoore.

Ringliikumise puhul võime rääkida eraldi ringjoonelisest liikumisest ja pöörlemisest.

Turist tiirleb vaaterattal. Vaateratas pöörleb ümber oma telje.

Kui turist sõidab vaaterattal, siis liiguvad kõik tema punktid mööda ühesuguseid ringjoonekujulisi trajektoore ja tegemist on ringjoonelise liikumisega. Ringjooneliseks liikumiseks nimetatakse keha liikumist mööda ringjoonekujulist trajektoori.

Maa tiirleb ümber Päikese. Maa trajektoori iseloomustab trajektoori raadius.

Ringjoonelist liikumist nimetatakse tihti ka tiirlemiseks. Ringjoonelisest liikumisest ehk tiirlemisest saame rääkida siis, kui keha mõõtmed ja kuju pole liikumise kirjeldamisel olulised ning me võime kasutada punktmassi mudelit.

Ringjooneliselt liiguvad näiteks autod kurvis, kellaosuti tipp, karussellil istuv laps ning ümber Maa tiirlev Kuu.

Ringjooneliselt liikuvate kehade trajektoorideks on erineva raadiusega ringjooned. Ringjoone raadius määrab ära trajektoori kõveruse ja on seega ringjoonelist liikumist iseloomustav suurus. Valemites ja joonistel tähistatakse trajektoori kõverusraadiust tähtedega $r$ või $R$ ja selle mõõtühikuks on meeter.

Tihti tuleb ette aga ringliikumist, kus keha punktide trajektoorideks on erinevad ringjooned ning seepärast ei saa keha punktmassiks lugeda. Kui keha erinevad punktid tiirlevad sama keskpunkti ümber mööda erinevate raadiustega ringjooni, on tegemist pöördliikumise ehk pöörlemisega. Pöörlevalt liiguvad näiteks autoratas, grammofoniplaat, avatav uks, saltot sooritav akrobaat ja Maa ümber oma kujuteldava telje.

Liikumisel toimuvat asukohamuutust iseloomustatakse nihke või teepikkuse abil. Ringliikumise kirjeldamiseks nihe ei sobi, kuna samu punkte läbitakse korduvalt. Küll aga saab kasutada läbitud teepikkust l. Ringjoonelisel liikumisel kujutab teepikkus l endast keha poolt läbitud ringjoone kaare pikkust.

Kui tegemist on pöörlemisega, liiguvad keha erinevad punktid mööda erineva raadiusega ringjooni ning nende jaoks on läbitavad teepikkused erinevad.

Igale ringjoone kaarele vastab alati kindel kesknurk. Just selle nurga võrra pöördub liikumise käigus raadius, mis ühendab trajektoori keskpunkti keha asukohaga. Nurka, mille võrra pöördub ringliikumisel keha asukohta ja trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav raadius, nimetatakse pöördenurgaks. Pöördenurga tähiseks on kreeka täht φ (fii).

Pöörlemist on kõige mugavam iseloomustada pöördenurga abil.

Pöördenurk on kõikidel punktidel sama.

Kuigi pöörlemise korral läbivad pöörlemisteljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on pöördenurk nende punktide jaoks ikka ühesugune. Seepärast eelistataksegi ringliikumise kirjeldamisel teepikkusele pöördenurka.

Füüsikas mõõdetakse pöördenurka mitte kraadides, vaid radiaanides. Üks radiaan (lüh rad) on selline kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus on võrdne selle ringjoone raadiusega. Ühele täisringile vastab pöördenurk $2\pi \text{rad}$ , seega 1 rad = 360º/2π ≈ 57º.

Kasutades selliselt defineeritud nurgaühikut, kehtib pöördenurga ja kaarepikkuse vahel lihtne seos:

φ=rl

Kui keha sooritab mis tahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed pöördenurgad, on tegemist ühtlase ringliikumisega. Nii nagu ühtlane sirgjooneline liikumine, on ka ühtlane ringliikumine üks liikumise füüsikaline mudel. Looduses ideaalsel kujul sellist liikumist ei esine, kuid paljudel juhtudel saab seda mudelit rakendada suure täpsusega.

Ringliikumine on perioodiline liikumine, kuna keha asukoht kordub võrdsete ajavahemike möödumisel. Perioodilisi liikumisi saab iseloomustada perioodi ja sageduse abil.

Ringliikumise perioodiks nimetatakse ajavahemikku, mille jooksul läbitakse üks täisring. Kella minutiosuti tiirlemisperiood on üks tund, Maa tiirlemisperiood ümber Päikese aga üks aasta. Perioodi mõõdetakse alati ajaühikutes ja SI-s on mõõtühikuks seega 1 sekund. Perioodi tähiseks valime käesolevas kursuses $T$ .

Kui tähistame tiirleva keha poolt aja $t$ kestel sooritatud tiirude arvu tähega N, avaldub ühe tiiru sooritamise aeg ehk periood koguaja ja tiirude arvu jagatisena

T=Nt

Sageduseks nimetatakse ajaühikus tehtavate täisringide arvu. Sageduse tähiseks on $f$ (ld frequçns 'sagedane, korduv'). Sageduse leidmiseks tuleb ringide arv $N$ jagada ajaühikute arvuga ehk ajaga $t$ :

f=tN

Võrreldes valemeid ([valem=15062]3.2[/valem]) ja ([valem=15063]3.3[/valem]), näeme, et ringliikumise sagedus ja periood on teineteise pöördväärtused:

f=T1

Nii on ka sageduse mõõtühikuks sekundi pöördväärtus, mida nimetatakse hertsiks (Hz). 1 Hz = 1/s.

Ringjooneline liikumine

Ringjooneliseks liikumiseks nimetatakse keha liikumist mööda ringjoonekujulist trajektoori.

Pöördenurk

Nurka, mille võrra pöördub ringliikumisel keha asukohta ja trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav raadius, nimetatakse pöördenurgaks.

Periood

Ringliikumise perioodiks nimetatakse ajavahemikku, mille jooksul läbitakse üks täisring.

Sagedus

Ringliikumise sageduseks nimetatakse ajaühikus tehtavate täisringide arvu.

Millised nendest kehadest tiirlevad ja millised pöörlevad: a) kellaosuti; b) keeratav mutter; c) surmasõlme sooritav lennuk; d) lukku avav võti; e) jalgratturi kinganina; f) sidesatelliit; g) käiakivi?

Solution

Mitu radiaani on: a) 45º; a) 60º; a) 180º; a) 360º?

Solution

Kui suur on pöördenurk auto jaoks, mis läbib 75 m kõverusraadiusega teel 75 m pikkuse lõigu?

Solution

Grammofoni heliplaat teeb 78 pööret minutis. Arvuta pöörlemisperiood ja -sagedus.

Solution

Elektrimootori pöörlemissagedus on 20 Hz. Mitu pööret teeb selle võll 2 minutiga?

Solution

Liikuval kehal on alati mingi kiirus. Ühtlase liikumise kiirus on võrdne teepikkuse ja selle läbimiseks kuluva aja jagatisega:

v=tl

Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel nimetatakse teepikkuse (läbitud joone pikkuse) ning aja jagatist mitte lihtsalt kiiruseks, vaid joonkiiruseks. Nimetuse täpsustus on tingitud sellest, et ringliikumist saab lisaks joonkiirusele iseloomustada ka ajaühikus sooritatava pöördenurga kaudu.

Click to play video

Joonkiirus on suunatud piki trajektoori puutujat.

Click to play video

Joonkiirus kirjeldab igasugust liikumist.

Valem ([valem=15066]3.5[/valem]) võimaldab leida vaid kiiruse arvväärtuse. Joonkiirus on suunatud alati piki ringjoonelise trajektoori puutujat ja on igas punktis trajektoori kõverusraadiusega risti.

Joonkiirusega saab iseloomustada mitte ainult ringjoonelist, vaid ka mis tahes muu kujuga trajektoori mööda toimuvat kõverjoonelist liikumist.

Kuna pöörlemise korral läbivad teljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on ka nende punktide joonkiirused erinevad. Mida suurem on punkti tiirlemisraadius, seda suurem on ka kiirus. Kuna aga kõikide punktide jaoks jääb pöördenurk alati samaks, on otstarbekas ringliikumise kirjeldamiseks defineeridagi kiirus just nurga kaudu.

Click to play video

Erinevate punktide joonkiirused on erinevad

Seepärast kasutataksegi ringliikumise iseloomustamiseks pöördenurga ja selle sooritamiseks kuluva ajavahemiku jagatist. Seda jagatist nimetatakse ringliikumise nurkkiiruseks. Nurkkiirus on võrdne ajaühikus sooritatava pöördenurgaga. Seda suurust tähistatakse kreeka tähega $\omega$ (omega) ja valemiks on

ω=tφ

Kui pöördenurka mõõdetakse radiaanides ja aega sekundites, on nurkkiiruse mõõtühikuks radiaan sekundis (1 rad/s).

Nurkkiirus on seotud joonkiirusega $v$ . Paneme nurkkiiruse avaldisse ([valem=15066]3.6[/valem]) pöördenurga kohale selle väärtuse $\varphi = l/r$ ning saame

ω=tφ=trl

Et aga $l/t$ kujutab endast joonkiirust $v$ , saame

ω=rv

See ongi seos nurkkiiruse ja joonkiiruse vahel.

Peale joonkiiruse on nurkkiirus seotud ka ringliikumise sageduse ja perioodiga. Definitsiooni järgi on sagedus võrdne ajaühikus sooritatavate täisringide arvuga:

f=tN

Aja $t$ jooksul sooritatud täisringide arv on siis $N = ft$ . Et igale täisringile vastab pöördenurk $2\pi$ rad, siis saame, et

φ=2πft

millest vastavalt nurkkiiruse definitsioonile $\omega = \varphi /t$ saame sagedusega seose valemiks

ω=2πf

Näeme, et nurkkiirus on sagedusega võrdeline. Seepärast nimetatakse seda suurust mõnikord ka nurksageduseks või ringsageduseks.

Teades, et periood ja sagedus on teineteise pöördarvud, on lihtne näha, et nurkkiirus sõltub ringliikumise perioodist pöördvõrdeliselt:

ω=T2π

Ringliikumise joonkiirus

Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel nimetatakse teepikkuse (läbitud joone pikkuse) ning aja jagatist joonkiiruseks.

Ringliikumise nurkkiirus

Ringliikumise nurkkiirus on võrdne ajaühikus sooritatava pöördenurgaga. Kuna nurkkiirus on võrdeline sagedusega, nimetatakse seda suurust mõnikord ka nurksageduseks või ringsageduseks.

Maa tiirleb ümber Päikese ligikaudu ringjoone kujulisel trajektooril, mille raadius on 150 miljonit km. Kui suur on Maa tiirlemise joonkiirus?

Solution

Milline on kella sekundiosuti nurkkiirus? Kui suur on selle 2,5 cm pikkuse osuti otsa joonkiirus?

Solution

Arvuta Maa pöörlemise nurkkiirus.

Solution

Auto sõidab kiirusega 72 km/h. Leia autorataste pöörlemise nurkkiirus, kui nende läbimõõt on 60 cm.

Solution

Kui suur on eelmises ülesandes autorataste pöörlemise sagedus ja periood?

Solution

Elektrimootori pöörlemissagedus on 120 Hz. Kui suur on selle mootori võlli pöörlemise nurkkiirus?

Solution

Click to play video

Joonkiiruse suund muutub ringliikumisel pidevalt.

Sirgjoonelisel liikumisel on keha kiirus suunatud piki trajektoori. Seevastu ringliikumisel kiiruse suund muutub pidevalt. Kui trajektoor pole sirge, on kiirus trajektoori erinevates punktides suunatud erinevalt, kuid alati piki trajektoori puutujat (s.o mööda sirget, mis on antud punktis raadiusega risti). Varemalt nimetasime sellist suurust ka joonkiiruseks.

Ringliikumisel muutub liikumise suund pidevalt. Kui kiiruse suund muutub, siis muutub järelikult ka kiirusvektor (kiirus on vektoriaalne suurus). Kui aga kiirusvektor muutub, on olemas ka kiirendus. Kiirendus on ju kiirusvektori muudu ja muutuseks kulunud ajavahemiku jagatis:

a⃗=ΔtΔv⃗=tv⃗−v⃗0

Tuleb välja, et ringliikumisel esineb kiirendus ka siis, kui kiiruse arvväärtus ei muutu. Kiirendus on ka ühtlasel ringliikumisel, kuna liikumise suund muutub.

Kiiruse muut ja kiirendus on suunatud kõveruse keskpunkti poole.

Kuhu on see kiirendus suunatud? Vaatame lühikest ajavahemikku, mille kestel sooritatud pöördenurk on väike. Et ringjoonelise liikumise joonkiirus on suunatud alati raadiusega risti, pöördub ka kiirusvektor sama nurga võrra. Joonisel tähistab kiirust enne pööret vektor $\vec {v_0}$ ja pärast pöörde sooritamist $\vec v$. Kuna kiiruse arvväärtus ei muutu, on ühtlasel ringliikumisel nende vektorite pikkused võrdsed.

Kiirenduse leidmiseks tuleb leida kiiruse muutus ehk kiirusvektorite vahe $\vec v-\vec {v_0}$. Vektori $\vec {v_0}$ lahutamine on samaväärne vastandvektori $-\vec {v_0}$ liitmisega. Jooniselt on näha, et väikese pöördenurga korral on kiiruse muut $\vec v-\vec {v_0}$ suunatud piki raadiust trajektoori kõveruskeskpunkti poole. Ringliikumise kiirendus kui kiiruse muutumise kiirus on suunatud samuti kõveruskeskpunkti.

Suunamuutusest tingitud kiirendus on suunatud alati keha trajektoori kõveruskeskpunkti poole ja on seega kiirusvektoriga risti. Seepärast nimetatakse seda kiirendust kesktõmbekiirenduseks.

Kesktõmbekiirenduse väärtus sõltub nii trajektoori kõverusraadiusest $r$ kui ka joonkiirusest $v$ . On ju loomulik, et mida kiiremini keha mööda ringjoont liigub, seda kiiremini muutub ka liikumissuund. Samuti muutub suund seda kiiremini, mida kõveram on trajektoor.

Kesktõmbekiirendus sõltub liikumise joonkiirusest ja trajektoori kõverusraadiusest järgmiselt:

a=rv2

Kasutades valemit ([valem=15068]3.8[/valem]) seoses nurk- ja joonkiiruse vahel, saame kesktõmbekiirenduse avaldada ka nurkkiiruse kaudu:

a=ω2r

Ühtlasel ringliikumisel esineb alati kesktõmbekiirendus. Newtoni II seaduse järgi liigub keha kiirendusega vaid siis, kui sellele mõjub jõud. Ka kesktõmbekiirenduse tekitamiseks on vajalik jõud. See jõud peab mõjuma samas suunas kiirendusega ja on järelikult suunatud trajektoori kõveruskeskpunkti poole.

Kui sellist jõudu kehale ei mõju, ei saa olla ka ringliikumist. Newtoni I seaduse järgi liiguvad ju kõik kehad, millele jõudusid ei mõju, inertsi tõttu ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Keha liigub mööda ringjoont vaid siis, kui seda otsesuunast pidevalt kõrvale kallutatakse. Ringliikumine toimub kesktõmbejõu ja inertsi koosmõju tagajärjena. Trajektoori kõveruskeskpunkti suunatud jõudu, mis põhjustab ringliikumist, nimetatakse kesktõmbejõuks ehk tsentripetaaljõuks (ld centrum + petere 'kese + ründama').

Kesktõmbejõuks võib olla mis tahes liiki jõud. Autot hoiab ringteelt välja libisemast hõõrdejõud, sidesatelliiti hoiab ümber Maa tiirlemas gravitatsioonijõud, vasar liigub heitmiseelse hoovõtu ajal ringjooneliselt trossis tekkiva elastsusjõu mõjul.

Kesktõmbejõudu saab leida Newtoni II seadust kasutades kesktõmbekiirenduse kaudu:

Ringjooneliselt liikuvad kehad paiskuvad keskmest eemale

Kõik, kes on sõitnud mööda ringjoont kiiresti pöörleval karussellil või järsult kurvi võtvas autos, on tundnud, et neid surutakse ringi keskmest väljapoole. Ringjooneliselt liikuvale kehale mõjuks nagu mingi keskpunktist eemale suunatud jõud. Sellele jõule on antud ka eraldi nimetus – tsentrifugaaljõud (ld centrum + fugiô 'kese + põgenema'). Tegemist on niinimetatud inertsijõuga, mida vaatleja tajub siis, kui ta liigub kiirendusega.

Kui me istume autos, siis oleme selle suhtes paigal. Sisenedes kurvi, hakkab auto kõrvale pöörama ja sunnib kaasa pöörama ka autosistujaid. Sõitjatele tundub, nagu lükataks neid väljapoole. Maa suhtes vaadeldes seda väljapoole mõjuvat jõudu ei eksisteeri. Inertsi tõttu püüavad auto ja autosistujad liikuda otse ehk ringliikumise keskmest eemale ja ainus jõud, mis neile tegelikult mõjub, on liikumist ringjooneliseks sundiv kesktõmbejõud.

Ühtlase ringjoonelise liikumise kesktõmbekiirendus

Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel esineb suunamuutusest tingitud kiirendus, mis on suunatud alati keha trajektoori kõveruskeskpunkti poole ja on seega kiirusvektoriga risti. Seda kiirendust nimetatakse kesktõmbekiirenduseks.

Ühtlase ringjoonelise liikumise kesktõmbejõud

Kesktõmbekiirendust esile kutsuvat trajektoori keskpunkti poole suunatud jõudu, mis põhjustab ringliikumist, nimetatakse kesktõmbejõuks.

Kui suur on kesktõmbekiirendus autol, mis läbib kurvi kõverusraadiusega 50 m kiirusel 54 km/h?

Solution

Kui suure kiirendusega liigub pesu pesumasina trumlis, mis pöörleb sagedusega 20 Hz? Trumli läbimõõt on 40 cm.

Solution

Kui suur jõud tekib 1,5 m pikkuses lingunööris, millega keerutatakse 2 kg massiga kivi kiirusega 8 m/s?

Solution

Millise suurima kiirusega tohib sõita 50 m kõverusraadiusega kurvi, kui hõõrdetegur autokummide ja teekatte vahel on 0,4?

Solution

Kõik me teame, et planeedid tiirlevad ümber Päikese ning Kuu tiirleb ümber Maa. Trajektooriks on üsna täpselt ringjoon. Näiteks Maa kaugus Päikesest ei muutu tiirlemise käigus enam kui 3%.

Click to play video

Taevakehad tiirlevad tänu gravitatsioonijõule

Juba Newton oletas, et planeetide tiirlemine on tingitud gravitatsioonijõust. Tuginedes praegustele teadmistele gravitatsiooni ning ringliikumise kohta, võime väita, et just gravitatsioonijõud kesktõmbekiirenduse tekitajana kallutab planeedid sirgjoonelisest teest kõrvale ja on seega nende tiirlemise põhjuseks.

Oletame, et planeedil massiga $M$ on kaaslane massiga $m$ , mis tiirleb selle ümber ringorbiidil raadiusega $r$ . Vastavalt gravitatsiooniseadusele tõmbab planeet kaaslast jõuga

F=Gr2mM

See jõud ongi kaaslase tiirlemist põhjustavaks kesktõmbejõuks, mis on valemi ([valem=15074]3.15[/valem]) järgi seotud tiirlemise nurkkiirusega järgmiselt:

Gr2mM=mω2r

Siit saame avaldada nurkkiiruse ning sellest omakorda tiirlemisperioodi:

ω=√r3GM

T=2π√GMr3

Click to play video

Muutuvalt liikuva taevakeha trajektoor erineb ringjoonest

Viimane seos näitab, et tiirlemisel mööda ringorbiiti on perioodi ruut võrdeline tiirlemisraadiuse kuubiga. Selle seaduspärasuse avastas planeetide vaatlusandmeid analüüsides Saksa astronoom Johannes Kepler juba 1619. aastal.

Tiirlemise orbiidiks on ringjoon vaid siis, kui gravitatsioonijõud mõjub kogu aeg liikumisega risti. Paljude taevakehade puhul ei ole see aga alati nii. Kui gravitatsioonijõud pole kiirusega risti, mõjub see liikumisele kiirendavalt või aeglustavalt. Sel juhul on liikumine muutuv ning trajektooriks on ringjoone asemel väljavenitatud ellips või isegi mittekinnine joon nagu parabool või hüperbool.

Lisaks tiirlemisele võivad taevakehad ka pöörelda. Öö ja päev vahelduvad tänu maakera pöörlemisele ja pöörlemistelje kalde muutumatus tingib aastaaegade vaheldumise.

Tüüpilise galaktika tähtede orbitaalkiirus sõltuvalt nende kaugusest galaktika keskmest. Teoreetiline pidev joon näitab, et kui galaktika koosneks ainult nähtavast massist, siis kahaneks suurtel kaugustel galaktika keskmest orbitaalkiirus koos kaugusega. Punktid on mõõtmisandmed, mis näitavad, et orbitaalkiirus on suurtel kaugustel ligikaudu konstantne.

Kui kogu galaktika mass asuks nähtavat valgust kiirgavates allikates, siis peaks kiiruste jaotust kirjeldama joonisel kujutatud pidev kõver, st galaktika keskmest 15–25 kiloparseki kaugusel asuvate galaktikate pöörlemise kiirused peaksid vähenema. Reaalsetest mõõtmistest saadud kõverad on aga teistsugused (tähistatud punktidena joonisel 44-5) ja pöörlemise kiirus on ligikaudu konstantne isegi kaugustel 40 kuni 50 kpc. See erineb ka kiiruste jaotusest meie päikesesüsteemis. Näiteks on Pluto (Päikesest kaugeim planeet) orbitaalkiirus ainult üks kümnendik Merkuuri orbitaalkiirusest (Päikesele lähim planeet).

Nende andmete alusel arvatakse, et galaktikad on tegelikult hoopis suuremad kui nähtub nende visuaalsest pildist. Optiliselt nähtavad galaktikad on ümbritsetud ulatuslikust tumedast halost. Seega on ka meie galaktikas enamus massist nähtamatu, gravitatsioonilist tõmbumist põhjustav tume aine, mida me praegu veel ei tunne.

Seda ainet ei ole õnnestunud näha mitte ühelgi lainepikkusel, raadiokiirgusest kuni gammakiirguseni. Me teame teda vaid tema gravitatsioonilise tõmbe järgi. Tumeda aine olemus ja järeldused sellest evolutsioonile on üks kaasaegse astronoomia olulisemaid küsimusi.

Kuidas saab ainult pöörlemise uurimisest nii põhjapanevaid järeldusi teha? Alljärgnev näiteülesanne illustreerib, kuidas pöörlemise kiirus ja kesktõmbejõud on omavahel seotud – kui on teada üks, siis saab arvutada teise.

Joonisel kujutatud seadmega keerutatakse massi $m_1$ , hoides kinni lehtrikujulisest torust. Olgu kera mass $m_1=1\text{kg}$ ja pöörelgu see mööda ringijoont, mille raadius on $1 \text m$ . Nööri otsa riputatud keha mass on $m_2 = 4 \text{kg}$ . Milline peab olema kera nurkkiirus, kui kumbki mass vertikaalselt ei liigu? Lehtri ning nööri vahel hõõrdumist ei ole vaja arvestada.

Solution

Nöör muudab koonust läbides massile $m_2$ mõjuva gravitatsioonijõu suuna horisontaalseks. Kera $m_1$ saab liikuda mööda ringjoont, sest talle mõjub kesktõmbejõud. Kui kumbki mass vertikaalselt ei liigu, siis peavad need kaks jõudu olema täpselt võrdsed:

m1rω2=m2g

Sellest võrrandist saab avaldada nurkkiiruse:

ω=√m1rm2g=√1kg⋅1m4kg⋅9,81m/s2=6,62rad/s

See teeb umbes kaks pööret sekundis.

See on tume galaktika Dragonfly 44. Vasakul koos oma naabritega taevasfääril, paremal suurendatult. See galaktika on oma massi kohta väga raskesti nähtav, sedavõrd, et teadlased ei pannud seda aastakümneid tähele. 2016.a. avaldatud teadustöös hinnati, et selle massi moodustab peaaegu täielikult (99,99%) tumeaine.

Looduslikku ringliikumist leidub ka maapealsetes mastaapides. Seda küll, et selle märkamiseks tuleb olla tähelepanelik, hammasrattaid või propellereid sealt ei leia. Või siiski?

Sügisel langevad puudelt lisaks lehtedele ka seemned. Näiteks vahtraseemned on kui propellerid – kukkudes nad hakkavad pöörlema. Miks see vajalik on? Sest niimoodi kukkudes takistab õhk langevat seemet rohkem ja see langeb kauem, mis omakorda annab tuulele rohkem aega seemet kaugemale kanda. Tähelepanelikult loodust jälgides on selliseid liikumisi võimalik leida mujaltki – näiteks see, et kass kukub alati jalgadele, tähendab, et ta peab end õhus pöörama.

Hea näide on ka suitsurõngad. Kui rõngas tervikuna liigub enam-vähem sirgjooneliselt, siis rõnga osad pöörlevad, nagu näidatud alljärgneval joonisel. Selliseid suitsurõngaid võivad aeg-ajalt tekitada ka vulkaanid.

Õhu liikumine suitsurõngaste tekitamisel ja nende liikumisel.

Islandil asuva Hekla mäe vulkaaniline purse on tekitanud suitsurõnga.

Vooliste (vedelike ja gaaside) liikumisel tekivad tihti keerised. Lauale mahuvad need keerised, mis tekivad vee äravoolul läbi väikeste avade, näiteks kraanikausis. Satelliidipiltidelt võib näha tohutuid maa-alasid katvaid tsükloneid, väiksemas mastaabis tekivad mesotsüklonid ja nendest omakorda tornaadod.

Tornaado ehk tromb on mõne meetri kuni paarikilomeetrise läbimõõduga tugev tuulekeeris rünksajupilve ja maapinna vahel. Selle tekkimisel on kaks etappi. Esiteks rünksajupilve enese tekkimine, mida illustreerivad alljärgneva pildiseeria kaks esimest pilti. Teiseks tornaado enese moodustumine, kui rünk- või rünksajupilvest alla rippuv koonusekujuline või torujas silmnähtavalt pöörlev keeris ulatub maa või merepinnani (pildiseeria kolmas pilt).

Andres Tarand ja Ain Kallis soovitavad oma raamatus "Eesti tornaadod" keeristormide tekkimisele alljärgneva, mitteasjatundjatele suunatud seletust: "Eilsed tormid tekkisid siis, kui pinnalähedane soe niiske õhk paiknes selle kohal oleva kuivema õhu all, kus temperatuur kõrguse suurenedes kiiresti langes, andes sel moel ebastabiilsuse tekitamise läbi tormile energiat. Suured kõrgusest sõltuvad tuule muutused (tuulenihe) nii madalate (madalaim 1km) kui ka sügavate kihtide (kõige madalam 6 km) kohal – kombinatsioonis õhumassi ebastabiilsuse ja maapinna lähedase suure niiskusega – tekitasid tornaadode moodustumiseks soodsa olukorra."

Tornaado tekkimisel on pöödliikumisel väga suur roll.

Rünksajupilvede ja tornaadode tekkimise eelduseks on erinevatel kõrgustel ja erinevates suundades liikuvate õhumasside põrkumine, mille tulemusena tekivad esmalt keerised maapinna läheduses, mis siis soojade õhumasside toel tõusevad ning moodustavad rünksajupilve. Tornaado tekib, kui rünksajupilvest alla rippuv lehterpilv ulatub maapinnani.

Click to play video

Lehterpilv rünksajupilve all. Kui see ulatub maapinnani, siis nimetatakse seda tornaadoks.

F5 klassi tornaado läheneb 22. juunil 2007.a. Elie linnale, Kanadas, Manitoba maakonnas.

Omaette nähtus on ka tuletornaado. Sellised tordnaadod tekivad keerised satuvad tulekoldele, tekitades neile intensiivse hapnikurikka õhu pealevoolu ning leekide äratõmbe läbi keerise keskosa. Tuletornaadosid saab esile kutsuda ka demokatsetes.

Click to play video

Tuletornaado Austraalia metsapõlengus.

Click to play video

Demokatsetes tekitatakse tuulekeeris kas ventilaatori või pöörleva võrksilindriga. Sellise keerise keskosas on õhurõhk veidi väiksem ning seetõttu hakkab leegiga kokku puutuv õhk kiiresti ülespoole liikuma.

Ugala teatri uue pöördlava konstruktsioon.

Tehnikas leidub ringliikumise kohta palju näiteid. Autod sõidavad tänu pöörlevatele ratastele, informatsiooni salvestatakse pöörlevatele laserplaatidele ning magnetketastele, sidet peetakse ümber Maa tiirlevate tehiskaaslaste abil.

Ringliikumisega kaasneva kesktõmbekiirenduse abil saab ka kaalu muuta. Näiteks treenivad astronaudid tiirlevatel trenažööridel oma keha vastupidavust, tsentrifuugi saab eraldada erineva tihedusega aineid.

Anname siin uurimiseks ja nuputamiseks kahe näiliselt erineva, ehkki samas funktsioonis kasutatava seadme läbilõike: vaatame lähemalt turbopropellermootorit ja turboventilaatormootorit. Ühed lükkavad edasi propelleritega lennukeid, teised reaktiivlennukeid

Näeme, et oma olemuselt on need kaks üsna sarnased – nende põhiliseks osaks on gaasiturbiin, kus põlemisel tekkivad kuumad gaasid ajavad ühelt poolt ringi tiivikute süsteemi, st mootorit ennast, teisalt lükkavad edasi lennukit.

Turbopropellerlennuki mootori läbilõige. Põlemiskambris tekkiv kuum gaas paneb pöörlema turbiini, mis on võlli abil ühendatud propelleriga.

Turboventilaatormootori läbilõige. Sellise mootori tõukejõud on reaktiivjõud, mis tekib gaasi väljapaiskumisel mootori tagaosast. Osa sellest energiast kantakse madalsurveturbiini kaudu üle mootori esiosas olevale tiivikule, mis omakorda õhku mootori tagaosast välja surub. Teine osa energiast läheb kõrgsurveturbiini kaudu õhu kokkusurumisele põlemiskambris.

Lõpuks üks lugu, mis räägib pöörlemise kineetilisest energiast ja võimalikest ohtudest seoses pöördliikumisega.

Plahvatus pöörlemisel

Suuri masinaosi, mis peavad pikka aega väga kiiresti pöörlema, testitakse spetsiaalses katseseadmes. Detail pannakse pöörlema silindriliselt paigutatud vooderdatud pliitelliste vahel. Kogu süsteem asub teraskestas, mille peal on klambriga kinnitatud kaas. Kui detail

Taevakehade liikumine

Planeetide tiirlemine ümber tähe on põhjustatud gravitatsioonijõust, tiirlemise trajektooriks saab olla ringjoon või ellips. Tiirlemisel mööda ringorbiiti on perioodi ruut võrdeline tiirlemisraadiuse kuubiga.

Maa mass on 5,97·10²⁴ kg ning kaugus Kuust 3,84·10⁸ m. Arvuta Kuu tiirlemisperiood.

Solution

Miks suure autoga suurel kiirusel üle mäekünka või kumera silla sõitmine kõhus õõnsa tunde tekitab?

Solution

Miks Kuu Maa poole alati ühe ja sama küljega on?

Solution

Sidesatelliidid liiguvad ümber Maa nii, et nende tiirlemisperiood oleks täpselt võrdne Maa pöörlemisperioodiga, vaid siis ei muutu nende asukoht maapinna ja neile suunatud vastuvõtuantennid võib kinnitada liikumatult. Kui suur on selleks sobiva nn geostatsionaarse orbiidi raadius? Maa massiks võtta 6·10²⁴ kg.

Solution

Võnkumisel liigub keha edasi-tagasi sama trajektoori mööda.

Enamik looduses aset leidvaid nähtusi toimub perioodiliselt. Teatud aja möödudes kordub kõik jälle uuesti. Nii vahelduvad öö ja päev ning aastaajad, kordub lindude ränne igal kevadel lõunamaalt koju pesitsema ja igal 1. septembril minnakse jälle kooli. Kõikjal igapäevases elus, looduses ja tehnikas võime kohata perioodiliselt korduvat liikumist – merelained loksuvad vastu kaldakive, puuoksad kõiguvad tuules, linnud lehvitavad tiibu, õmblusmasina nõel liigub üles-alla, praam sõidab edasi-tagasi Virtsu ja Kuivastu vahet. Seda tüüpi liikumiste tundmaõppimine ning ühiste joonte väljaselgitamine aitab meil ümbritsevat paremini mõista ja kogutud teadmisi enda kasuks rakendada.

Ühte osa perioodiliselt korduvatest liikumistest me juba õppisime lähemalt tundma. Selleks on ringliikumine. Teiseks suureks grupiks on võnkumine. Erinevalt teistest perioodilistest liikumistest kordub võnkumisel liikumine võrdsete ajavahemike tagant nii, et esialgsesse asendisse läheb keha tagasi sama teed mööda. Võnkumiseks nimetatakse perioodilist edasi-tagasi liikumist teatud tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Nii on võnkumine mootorikolvi üles-alla liikumine, mitte aga väntvõlli pöörlemine. Viimasel juhul jõuab vändaots küll korduvalt esialgsesse seisu tagasi, kuid ikka mööda ringjoont tiireldes.

Kuna võnkumine kujutab endast muutuvat liikumist, on selle tekkimiseks vaja vastastikmõju. Kuna vastastikmõjus osaleb alati mitu keha, siis saab ka võnkumine toimuda mitte ühe keha, vaid kehade süsteemi korral. Näiteks ei saaks vedru otsa riputatud raskus võnkuda, kui puuduks maakera oma külgetõmbega. Iga sellist mitmest vastastikmõjus olevast kehast koosnevat süsteemi, milles võib tekkida võnkumine, nimetatakse võnkesüsteemiks.

Kui võnkumine toimub vaid süsteemi kuuluvate kehade vaheliste mõjujõudude toimel, on tegemist vabavõnkumisega. Vabavõnkumiseks nimetatakse süsteemi sisejõudude mõjul toimuvat võnkumist. Näiteks võib vabalt võnkuda niidi otsas rippuv kivi, kui miski selle tasakaalust välja viib. Süsteemi moodustavad siin ülalt kinnitatud niit, kivi ja maakera. Süsteemisisesteks jõududeks on gravitatsioonijõud Maa ja kivi vahel ning niidi tõmbejõud. Mõnikord nimetatakse vabavõnkumist ka omavõnkumiseks.

Vabavõnkumine toimub süsteemi sisejõudude mõjul.

Vabavõnkumise tekkimiseks peab olema püsiv tasakaal, inerts ja väline tõuge.

Mehaanilise vabavõnkumise tekkimiseks peab süsteemis olema täidetud kolm tingimust.

Kõigepealt peab süsteemil olema püsiv tasakaaluolek. Püsiv tasakaal on selline, millest väljumisel tekkivad jõud viivad süsteemi tasakaaluolekusse tagasi.
Teiseks peab süsteem omama inertsi. Kui keha liigub tasakaaluasendi poole suunatud jõu mõjul kiirenevalt, ei jää see kohale jõudes mitte silmapilkselt seisma, vaid liigub hooga edasi ning eemaldub tasakaaluasendist teisele poole.
Kolmandaks peab süsteem saama võnkumise käivitamiseks (tasakaalust väljaviimiseks) välise tõuke.

Kuna igale kehale mõjub liikumist takistav hõõrdejõud, siis ei saa vabavõnkumine kesta ilma välise abita igavesti. Võnkumise kiirus ja ulatus hääbuvad aja jooksul nullini. Sellist võnkumist nimetatakse sumbuvaks. Looduses on vabavõnkumised alati sumbuvad. Sumbumatu võnkumise saamiseks tuleb hõõrdumist millegi välisega kompenseerida. Näiteks pommidega kellas annab spetsiaalse mehhanismi kaudu pendlile igal võnkel hoogu juurde pomme allapoole tõmbav raskusjõud.

Sundvõnkumise tekitab perioodiline välismõju

Kui võnkumine toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul, on tegemist sundvõnkumisega. Nii võngub õmblusmasina nõel üles-alla vaid seepärast, et käsi või mootor vänta ringi ajab. Kuna siin saab süsteem energiat välisest allikast, on sundvõnkumine alati sumbumatu. Sundvõnkumiseks on näiteks lõiketera liikumine höövelpingis, pintsli liikumine värvimisel ja klaasipuhastaja liikumine autoaknal.

Nagu iga perioodilist liikumist, iseloomustab ka võnkumist ajavahemik, mille möödumisel liikumine uuesti kordub. Ühe täisvõnke sooritamiseks kuluvat aega nimetatakse võnkeperioodiks. Võnkeperioodi tähis ja mõõtühik on samasugused kui ringliikumise perioodil, seega $T$ ja üks sekund.

Kui võnkeperiood on täpseks mõõtmiseks liiga lühike, saab täpsust tõsta, mõõtes mitte ühe, vaid suurema arvu võngete sooritamise koguaega $t$ . Kui võngete arvu tähiseks võtta $N$ , saame perioodi arvutada valemist

T=Nt

Ajaühikus sooritatavate täisvõngete arvu nimetatakse võnkesageduseks. Võnkesageduse tähis on sarnaselt ringliikumisega $f$ ja mõõtühik herts (Hz). Analoogiliselt ringliikumise sagedusega on võnkesagedus võrdne võnkeperioodi pöördväärtusega:

f=T1=tN

Võnkumisel liigub keha tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Võnkuva keha kaugust tasakaaluasendist nimetatakse keha hälbeks. Hälve on ajas muutuv suurus ja sõltuvalt sellest, kummal pool tasakaaluasendit keha asub, loetakse see kas positiivseks või negatiivseks. Kuna hälve kujutab endast tegelikult keha koordinaati, on selle tähiseks võetud $x$ ja mõõtühikuks on pikkusühik meeter.

Hälve on keha kaugus tasakaaluasendist.

Amplituud on suurim hälve.

Maksimaalset hälvet ehk suurimat kaugust tasakaaluasendist nimetatakse võnkeamplituudiks. Amplituudi tähiseks on $x_0$ . Kui sumbumatul võnkumisel amplituud ei muutu, siis sumbuval väheneb see aegamisi nullini.

Võnkumine ja võnkesüsteem

Võnkumiseks nimetatakse perioodilist edasi-tagasi liikumist teatud tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Iga sellist mitmest vastastikmõjus olevast kehast koosnevat süsteemi, milles võib tekkida võnkumine, nimetatakse võnkesüsteemiks.<

Vabavõnkumine

Vabavõnkumiseks nimetatakse süsteemi sisejõudude mõjul toimuvat võnkumist.

Sumbuv ja sumbumatu võnkumine

Võnkumist, mille kiirus ja ulatus hääbuvad aja jooksul nullini nimetatakse sumbuvaks. Sumbumatu võnkumise saamiseks tuleb hõõrdumist millegi välisega kompenseerida.

Sundvõnkumine

Kui võnkumine toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul, on tegemist sundvõnkumisega.

Võnkeperiood

Võnkumisel täisvõnke sooritamiseks kuluvat aega nimetatakse võnkeperioodiks (tähistame seda tähega $T$ ).

Võnkesagedus

Võnkumisel ajaühikus sooritatavate täisvõngete arvu nimetatakse võnkesageduseks.

Hälve ja võnkeamplituud

Võnkuva keha kaugust tasakaaluasendist nimetatakse keha hälbeks. Maksimaalset hälvet ehk suurimat kaugust tasakaaluasendist nimetatakse võnkeamplituudiks.

Millised nendest näidetest on seotud millegi võnkumisega: a) hakklihamasina väntamine; b) nätsu närimine; c) ketta heitmine; d) pendelteatejooks; e) pesutriikimine; f) kruvi keeramine; g) käsisaega saagimine?

Solution

Millised kehad kuuluvad võnkesüsteemi, milles saab võnkuda niidi külge seotud kivi?

Solution

Too näiteid vabalt võnkuvatest kehadest.

Solution

Too näiteid sundvõnkumistest. Millised välised jõud neid esile kutsuvad?

Solution

Vedru otsa riputatud raskus teeb kolme minutiga 360 võnget. Arvuta võnkumiste periood ja sagedus.

Solution

Niidi otsa riputatud kivi kallutati tasakaaluasendist 10 cm kõrvale ja pärast lahtilaskmist tegi see esimese minuti jooksul 80 võnget. Leia kõik seda võnkumist iseloomustavad suurused.

Solution

Võnkuvat liikumist esineb looduses kõikjal meie ümber. Kui soovime loodust uurida ja võimalikult täpselt arvude abil kirjeldada, peame oskama ka võnkumist matemaatiliste meetoditega väljendada. Selleks et jõuda võnkumise võrrandini, vaatleme veel kord ringliikumist.

Click to play video

Tiirleva eseme vari võngub.

Kujutame ette mingit tiirlevat eset, näiteks vinüülplaadimängija pöörleva ketta servale asetatud tikutoosi (vt joonist). Kui nüüd keha valgustada küljelt, piki tiirlemistasandit, liigub tikutoosi vari seinal mitte ringjooneliselt, vaid edasi-tagasi. Vari võngub, kusjuures selle võnkumise sagedus langeb kokku eseme tiirlemise sagedusega ning võnkeamplituud tiirlemise raadiusega. Niisugust varju edasi-tagasi liikumist pole raske matemaatiliselt kirja panna.

Joonisel on koordinaattelg on suunatud piki varju liikumist nii, et nullpunkt asuks tiirlemiskeskme kohal. Tiirleva eseme asukohta kirjeldab pöördenurk $\varphi$ ja varju hälvet (kaugust koordinaadi nullpunktist) $x$ . Joonisel tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuusiks on trajektoori kõverusraadius $r$ ning nurga $\varphi$ vastaskaatetiks varju hälve $x$ . Matemaatikas õpitud siinusfunktsiooni definitsiooni järgi

rx=sinφ

Tiirlemise pöördenurga saame asendada valemis nurkkiiruse ja aja korrutisega:

φ=ωt

Nii kehtib varju võnkumise hälbe jaoks seos

x=rsin(ωt)

Kuna vari ei saa keskpunktist kaugemale minna, kui tiirlemise raadius $r$ , siis on selle väärtus ka võnkeamplituudiks $x_0 = r$ . Pärast asendust saamegi hälbe arvutamiseks mis tahes ajahetkel valemi:

x=x0sin(ωt)

Saadud valem kirjeldab varju liikumist seinal, näidates selle koordinaadi sõltuvust ajast.

Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Seos ([valem=15084]3.26[/valem]) on seega harmoonilise võnkumise võrrand.

Siinusfunktsiooni argumendiks olevat suurust

φ=ωt

nimetatakse võnkumise faasiks. Faasi mõõtühikuks on radiaan (rad) ning seda saab avaldada võnkesageduse ja perioodi kaudu:

φ=ωt=2πft=T2πt

Suurust $\omega$ , mis tiirlemise jaoks on nurkkiirus, nimetatakse võnkumise korral ring- ehk nurksageduseks. Ringsageduse mõõtühik on 1 rad/s.

Paljud looduses esinevad võnkumised on harmoonilised või sellele lähedased. Seepärast omab harmoonilise võnkumise võrrand ([valem=15084]3.6[/valem]) suurt tähtsust. Võrrand võimaldab kirjeldada peaaegu kõiki võnkumisega seotud nähtusi.

Click to play video

Harmoonilise võnkumise graafik on sinusoid.

Lisaks võrrandile saab võnkumisi kirjeldada ka graafiku abil. Võnkumise graafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast. Püstteljele kantakse koordinaat ehk võnkumise hälve ja horisontaalteljele aeg. Reaalselt saab võnkumise graafikut joonistada näiteks vedrupendli raskuse külge kinnitatud viltpliiatsi abil, mis surub vastu ühtlase kiirusega nihutatavat pabeririba.

Harmoonilise võnkumise graafiku võib joonestada ka võnkumise võrrandi järgi erinevatele ajahetkedele vastavaid koordinaate välja arvutades ja teljestikku kandes. Nii talitades saame võnkumise graafikuks sujuva lainelise joone, mida nimetatakse sinusoidiks.

Võnkumise graafik annab liikumise kohta teavet.

Sinusoid läbib kordamööda teljestiku positiivset ja negatiivset ala, jäädes samal ajal amplituudiga määratud horisontaaljoonte vahele. Sinusoid lõikab ajatelge iga poole perioodi tagant. Seda teades on graafikult võnkumise amplituudi ja perioodi lihtne välja lugeda.

Veel annab graafik informatsiooni võnkuva keha kiiruse muutumise kohta. Teatavasti näitab kiirust liikumisgraafiku tõus. Uurides sinusoidi, näeme, et suurima hälbega punktides graafiku puutuja mitte ei tõuse ega lange, vaid on horisontaalne. Seega on neil hetkedel keha paigal ja liikumise suund muutub vastupidiseks. Suurim tõus või langus toimub hetkedel, mil joon lõikub ajateljega. Järelikult liigub keha tasakaaluasendi poole kiirenevalt, maksimumkiirus saavutatakse tasakaaluasendis ja sellest eemaldumisel liikumine jälle aeglustub.

Harmooniline võnkumine

Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Sellise võnkumise võrrand on

x=x_0\sin(\omega t)

Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Sellise võnkumise võrrand on

x=x0sin(ωt)

Harmoonilise võnkumise faas ja nurksagedus

Siinusfunktsiooni argumendiks olevat suurust $\omega t$ nimetatakse võnkumise faasiks, suurust $\omega$ ring- ehk nurksageduseks.

Keha teeb igas minutis 12 võnget. Arvuta selle võnkumise faas hetkedel 2,5 s ja 10 s.

Solution

Võnkumise võrrand on $x = 0,2 \sin 50\pi t$ . Kui suur on selle võnkumise amplituud, ringsagedus, sagedus ja periood?

Solution

Võnkumise amplituud on 5 cm ja sagedus 30 Hz. Kirjuta välja selle võnkumise võrrand.

Solution

Leia kõrvaloleva graafiku põhjal võnkumise amplituud, periood, sagedus ja nurksagedus.

Solution

Võnkumise võrrand on $x = 0,5 \sin 0,2 \pi t$ . Visanda selle graafik.

Solution

Me teame, et keha muudab vastastikmõju teel teise keha liikumist või kuju, st muudab selle seisundit. Seisundi muutmise protsessi nimetatakse tööks ja töö tegemiseks peab keha omama energiat. Keha omab energiat tänu liikumisele (kineetiline energia) või sellele mõjuvatele jõududele (potentsiaalne energia). Kuna võnkumine on liikumine, mis toimub võnkesüsteemis mõjuvate jõudude toimel, siis omab selline süsteem energiat nii kineetilisel kui ka potentsiaalsel kujul. Seejuures võib kineetiline energia muunduda potentsiaalseks ning vastupidi nii, et nende summa jääb muutumatuks.

Võnkumise käigus toimub pidev energia muundumine.

Uurime võnkumise energia muundumist niidi otsa riputatud kivi võnkumise näitel. Kivile mõjub Maa külgetõmbejõud ehk raskusjõud. Kallutades pendlit tasakaaluasendist kõrvale, tehakse tööd ja kivi tõuseb kõrgemale, omandades potentsiaalse energia. Raskusjõust tingitud potentsiaalne energia on seda suurem, mida suurem on kõrgus.

Päästes kivi lahti, algab võnkumine. Kiirus ja sellega koos ka liikumis- ehk kineetiline energia kasvavad ning saavutavad maksimumväärtuse tasakaaluasendisse jõudmisel. Samal ajal kõrgus väheneb ja sellega väheneb ka potentsiaalne energia, jõudes tasakaaluasendis nulli. Kivi jätkab inertsi tõttu liikumist, mida raskusjõud nüüd aeglustab. Kiirus ja kineetiline energia kahanevad ning kõrgus ja potentsiaalne energia kasvavad, kuni pendel peatub teises äärmises asendis. Edasi kordub kõik vastupidises suunas ikka nii, et energia kogusumma jääb samaks. Seda muidugi takistava jõu puudumisel. Takistuse ületamine kulutab energiat ning amplituud ja maksimumkiirus vähenevad – võnkumine sumbub aegamööda.

Nagu nägime, võivad võnkuvad süsteemid olla väga erinevad. Ometigi saab neid sarnaste joonte põhjal grupeerida ning ühise lihtsustatud mudeli alla viia. Võnkuva süsteemi füüsikalist mudelit nimetatakse pendliks. Kõige sagedamini kasutatavateks mudeliteks on matemaatiline pendel, vedrupendel ja füüsikaline pendel. Kõiki pendleid iseloomustab isokroonsus ehk võime võnkeamplituudi muutumisel võnkeperioodi säilitada. See võimaldab pendleid kasutada kellade käigu regulaatorina.

Matemaatiliseks pendliks nimetatakse venimatu kaalutu niidi otsa riputatud punktmassi. Tasakaalust väljaviimisel liigub niidi otsa riputatud keha mööda ringjoone kaart, mille kõverusraadius on võrdne niidi pikkusega.

Sarnaselt matemaatilise pendliga võngub mis tahes raske ese, mis on riputatud sellega võrreldes palju kergema ja pikema niidi või nööri otsa. Matemaatilise pendli võnkumist põhjustab raskusjõud koos niidis tekkiva tõmbejõuga. Väikese võnkeamplituudi korral sõltub periood ainult pendli pikkusest $l$ ning vaba langemise kiirendusest $g$ :

T=2π√gl

Matemaatilise pendli abil on lihtne määrata vaba langemise kiirendust. Asjaolu, et selline pendel säilitab oma võnketasandi, kasutas prantsuse füüsik Jean Foucault 1848. aastal maakera pöörlemise tõestuseks.

Vedrupendliks nimetatakse absoluutselt elastse vedru otsa riputatud punktmassi. Võnkumist põhjustab siin elastsusjõu ja raskusjõu resultant.

Vedrupendli võnkeperiood on määratud vedru jäikuse k ning keha massiga $m$ :

T=2π√km

Füüsikaliseks pendliks nimetatakse suvalise kujuga jäika keha, mis saab rippudes võnkuda liikumatu punkti ümber. Füüsikaliseks pendliks võib olla näiteks kiikuv pilt seinal või naela otsa riputatud mutrivõti. Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub keha kujust, massist, kinnituskoha ning raskuskeskme vahekaugusest ja vaba langemise kiirendusest.

Kuna keha kuju ja riputuspunkt võivad olla väga erinevad, pole siinkohal võimalik anda füüsikalise pendli võnkeperioodi üldist valemit. Näiteks ühest otsast üles riputatud ühtlase varda võnkeperiood sõltub varda pikkusest $l$ järgmiselt:

T=2π√3g2l

Võnkumise energia

Võnkumisel kineetiline energia muundub potentsiaalseks ning vastupidi. Takistavate jõudude puudumisel jääb nende summa muutumatuks. Reaalses elus on takistavad jõud olemas, nende ületamiseks kulub energiat ja amplituud ning maksimumkiirus vähenevad.

Matemaatiline pendel

Matemaatiliseks pendliks nimetatakse venimatu kaalutu niidi otsa riputatud punktmassi.

Vedrupendel

Vedrupendliks nimetatakse absoluutselt elastse vedru otsa riputatud punktmassi.

Füüsikaline pendel

Füüsikaliseks pendliks nimetatakse suvalise kujuga jäika keha, mis saab rippudes võnkuda liikumatu punkti ümber.

Kirjelda energia muundumisi vedru otsa riputatud koormise võnkumisel.

Solution

Milliste pendlitega saaks siduda neid näiteid: a) benjihüpe; b) pika juhtme otsa kinnitatud laelamp; c) rippuv tabalukk?

Solution

Haavalehtede värisemine on puule kasulik.

Võnkumisi võib kohata nii looduses kui ka inimese valmistatud objektide juures. Neid on vabu ja sunnituid, sumbuvaid ja sumbumatuid. Tihti me isegi ei teadvusta endale, et tegemist on võnkumisega.

Looduses võib kohata mitmeid vabalt võnkuvaid kehi. Puud kõiguvad tuules, haavalehed värisevad ning vees ujuv puunott õõtsub üles-alla. Enamik sellistest võnkumistest ei täida mingit kindlat eesmärki, kuid mõned võivad siiski ka kasu tuua. Õite kõikumine äratab tolmeldavate putukate tähelepanu, kõikuvatest viljadest levivad seemned kaugemale ning peente ja lapikute rootsude otsas rippuvate haavalehtede värisemine aitab puul paremini valgust püüda ja vee aurumist reguleerida.

Sundvõnkumist kasutavad elusolendid liikumiseks. Näiteks me liigutame kõndimisel käsi ning jalgu edasi-tagasi. Paljud mikroorganismid liiguvad viburi võngutamise abil, linnud ja putukad lehvitavad tiibu, vee-elanikud liigutavad saba, uimi või loibi.

Sundvõnkumist kasutatakse edasiliikumiseks.

Võnkuv pillikeel tekitab heli.

Inimesed on leidnud mitmesugustele võnkumistele rakendust. Kes meist poleks näiteks lapsepõlves kiikunud! Kiikumises korraldatakse isegi võistlusi. Veel üheks näiteks on heliallikad. Kõik kehad, mis võnguvad sagedusvahemikus 16 – 20 000 Hz, tekitavad kuuldavat heli. Heliallikaks võib olla vabalt võnkuv pillikeel, kirikukell või ka trumminahk. Ka akordionis ja saksofonis teeb häält võnkuv keel, kuid see on kitarrikeelega võrreldes hoopis teistsugune. Kõlaris tekitab heli valjuhääldi membraan, mille on võnkuma sundinud muutuv elektrivool.

Sundvõnkumist rakendatakse masinates, mis viivad korduvalt läbi üht ja sama operatsiooni. Sundvõnkumise abil töötavad näiteks õmblusmasin, kolbpump, aurumasin ja pudelikorkija.

Õige sagedusega tõukamisel kiikumise amplituud suureneb.

Võnkumine võib olla kas vaba või sunnitud. Mis juhtub aga siis, kui vabalt võnkuvale süsteemile mõjub lisaks väline perioodiline jõud? Juhul, kui välise mõju sagedus langeb kokku süsteemi vabavõnkumise sagedusega, hakkab amplituud kasvama ja võib ka väikese jõu korral väga suureks muutuda. Kõik me teame, et kiigele hoo andmiseks ei tule pidevalt ühes suunas lükata, vaid kiike kergelt kindlate ajavahemike tagant tõugata.

Ka mitmetonnise auto saab suhteliselt väikese jõuga poriaugust välja lükata. Selleks kõigutatakse autot edasi-tagasi, kuni võnkliikumise amplituud kasvab sedavõrd, et masin välja pääseb.

Nendes näidetes väljendub resonantsinähtus.

Resonantsiks nimetatakse nähtust, kus välise mõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega suureneb võnkeamplituud märgatavalt.

Näiteks võib kõlar mingi ühe kindla madala noodi kõlamisel valjult plärisema hakata. Siis ongi tegemist resonantsiga – mängitava kindla kõrgusega heli sagedus langeb kokku valjuhääldi membraani enda võnkumise sagedusega.

Resonantsi saab kasutada tundmatu võnkesageduse määramisel. Selleks viiakse võnkuva kehaga kokkupuutesse näiteks erineva pikkusega plekiribad. Riba, mille võnkesagedusega mõõdetav sagedus kokku langeb, hakkab suure amplituudiga võnkuma.

Resonantsi kasutatakse paljude muusikariistade juures. Nii võimendab viiuli kõlakast keelte helisemist just tänu resonantsile. On ka selliseid pille, millel saavutatakse eriline kõlapilt põhikeelte kõrvale tõmmatud lisakeelte abil, mis tänu resonantsile iseenesest helisema hakkavad.

Resonantsil töötav sagedusmõõtja. 50 Hz märgi juures on näha, et kaks haamrikest võnguvad, kui kõik teised on paigal. Ilmselt mõõdetakse võrgusagedust.

Click to play video

Ühes vapustavaimas füüsikavideos on näha vana Tacoma Narrowsi silla jõhkrat väändumist 7. novembril 1941.a. Kuigi tol hommikul puhus mõõdukas tuul (umbes 68 kilomeetrit tunnis ehk 19 meetrit sekundis), rebenes toekas sild mõni tund pärast kõverdava võnkumise algust pooleks.

Resonants võib ka ohtlik olla. Võime näiteks ette kujutada, mis juhtuks, kui silla kõikumise ning silla konarlikul kattel sõitva auto õõtsumise sagedused kokku langeksid. Seepärast peavad arhitektid suurte ehitiste projekteerimisel arvestama võimalike perioodiliste välismõjudega, nagu näiteks inimeste kõndimine, tuulekeerised ja maavärinad.

Click to play video

Selles videos pikilainete sagedus tasapisi tõuseb. Vaadake, mis juhtub majadega.

Teadmisi resonantsi olemusest saab kasutada maavärinate kahjude vähendamiseks. Kui maakoores levivad pikilained, siis need kõigutavad sinna ehitatud maju maapinnaga paralleelselt edasi-tagasi. Kahju, mida selline võnkumine majadele teeb, sõltub võnkumise sagedusest. Täpsemalt sellest, kas ja kui sarnane on võnkumise sagedus majade omavõnkesagedusega. Kui on sarnane, siis tekib resonants. Kui ehitada maju selliselt, et nende omavõnkesagedus erineb tunduvalt maavärina korral maapinna võnkumise sagedusest, siis on maavärina kahjud väiksemad.

Lõpuks seome läbi ühe konkreetse näite omavahel looded, võnkumised ja resonantsi.

Looded Fundy lahes.

Fundy lahes Nova Scotias Kanadas on märkimisväärsed looded: veetase võib seal teinekord muutuda mõne tunniga kuni 15 meetrit. Miks on tõusu-mõõna erinevused seal nõnda suured?

Vee saab panna vannis lain

Resonants

Resonantsiks nimetatakse nähtust, kus välise mõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega suureneb võnkeamplituud märgatavalt.

Too erinevaid võnkumise näiteid loodusest.

Solution

Milleks kasutatakse tehnikas amortisaatoreid? Kas amortisaatorites on tegemist sumbumatu või sumbuva võnkumisega?

Solution

Kuidas saab kiigel istudes ilma kõrvalise abita hoogu juurde anda?

Solution

Miks on sõjaväemäärustikes sees punkt, mis keelab sildade ületamise marsisammul?

Solution

Lained seostuvad meie mõtetes tavaliselt merega, kus vesi rütmiliselt kaldakive uhub. Samuti oleme kuulnud maavärinate tekitatud hiidlainetest, mis pühivad maapinnalt terveid linnu. Lained ei kuulu aga ainult mere juurde, tegemist on palju mitmekesisema nähtusega. Lained on näiteks heli ja valgus. Teleprogrammid ja mobiilikõnedki jõuavad meieni raadiolainete vahendusel. Lainetest räägitakse isegi poliitikas, majanduses ja muusikas (new wave).

Mehaaniliste lainete puhul on alati tegemist millegi liikumise või muutumisega. See, mis liigub, võib olla aine nii tahkes, vedelas kui ka gaasilises olekus, õhus, vees ja maakoores. Kui mehaanilised lained saavad levida vaid aines, siis valguse ja raadiolainete korral kanduvad elektrilise ja magnetilise vastastikmõju muutused edasi ka läbi tühjuse.

Rahulikul veepinnal tekivad lained siis, kui sinna kivi visata ja helilainete tekitamiseks peab valjuhääldi membraan õhku kord tihendama, kord hõrendama. Laine tekkimiseks on vaja keskkonda häirida, tasakaalust välja viia.

Lainetada ei saa igasugune keskkond. Kui viskame kivi liiva sisse, siis ei teki selle pinnal mingeid liikuvaid laineid, vaid ainult lohk. Liiv pole elastne ega püüa oma esialgset olekut taastada. Mehaanilised lained tekivad vaid elastses keskkonnas, nagu kivi saab võnkuda elastse vedru otsas.

Elastse keskkonna tasakaalu häirimisel tekivad tasakaalu taastavad jõud, mis panevad keskkonna osakesed võnkuma. Et osakesed on vastastikmõjus naabritega, hakkavad omakorda ka need võnkuma. Võnkumine levib ruumis edasi. Seejuures aine ise edasi ei kandu. Selles võime veenduda, kui jälgime veelainetel hüplevat puutükki. Edasi ei kandu mitte aine (puutükk, vesi), vaid ainult selle häiritus – elastses keskkonnas toimuv võnkumine. Edasi kandub võnkumise energia. Energia edasikandumisele annab kinnitust tumeda pinna soojenemine valguslainete neeldumise tõttu.

Ülaltoodu põhjal võimegi sõnastada laine definitsiooni: laineks nimetatakse võnkumiste edasikandumist ruumis.

Definitsiooni järgi kujutab laine endast võnkumiste edasikandumist ruumis. Võnkumine saab toimuda mingis kindlas sihis. Sõltuvalt sellest, millises sihis võnkumine laine levimissuuna suhtes toimub, eristatakse kahte liiki laineid.

Ristilaines toimub võnkumine risti levimissuunaga.

Tiiki visatud kivi poolt tekitatud lained levivad piki veepinda kalda poole, pinnal lebavad vesiroosilehed õõtsuvad samal ajal üles-alla. Võnkumine toimub levimissuunaga risti ja tegemist on ristlainega. Ristlaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub levimissuunaga risti.

Ristlained on näiteks lained veepinnal, raadio- ja valguslained, maavärina tekitatud seismilised pinnalained ning võimleja tekitatud liikumine võimlemislindis.

Kui lüüa pika vedru otsa pihta, hakkavad ka selles võnkumised levima. Erinevalt merelainetest toimub võnkumine siin piki levimissuunda. Vedrukeerud kord lähenevad, kord eemalduvad üksteisest. Piki vedru liiguvad edasi kokkusurutud ja hõredaks tõmmatud keerdudega kohad. Tegemist on pikilainega. Pikilaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub piki levimissuunda. Pikilainena levib näiteks heli.

Laine

Laineks nimetatakse võnkumiste edasikandumist ruumis.

Ristlaine

Ristlaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub levimissuunaga risti.

Pikilaine

Pikilaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub piki levimissuunda.

Too näiteid erinevatest lainetest.

Solution

Kas pallimerre hüppamisel tekivad lained? Miks?

Solution

Loetle, millistel tingimustel saab tekkida mehaaniline laine.

Solution

Mis liiki on emotsionaalse publiku tekitatud lained laulupeol või spordivõistlusel?

Solution

Mis liiki laine on üksteise taha püsti asetatud doominokivide reas leviv ühe kivi ümberminekul tekkiv häiritus?

Solution

Kuna laine on ruumis leviv võnkumine, siis iseloomustavad seda ka kõik võnkumist kirjeldavad suurused. Nii iseloomustavad lainet võnkeamplituud $x_0$ (mõõtühik 1 m), periood $T$ (1 s) ja sagedus $f$ (1 Hz).

Laine kõrgus on võrdne kahekordse amplituudiga.

Laine võnkeamplituudi ei tohi segi ajada laine kõrgusega. Laine kõrgus $h$ on näiteks lainetava veepinna puhul laineharja (kõrgeima punkti) ning lainenõo (madalaima punkti) kõrguste vahe. Laine amplituud on seevastu üles-alla võnkuvate veeosakeste suurim kaugus tasakaaluasendist ehk tasasest veepinnast lainete puudumisel. Laine kõrgus on võrdne kahekordse amplituudiga:

h=2x0

Lainepikkus on kaugus kahe samas taktis võnkuva punkti vahel.

Lisaks loetletutele on veel kaks suurust, mille abil lainete levimist iseloomustatakse. Esimene neist on lainepikkus. Lainepikkuseks nimetatakse kaugust kahe teineteisele lähima samas taktis võnkuva punkti vahel. Laineallikast kaugemate punktide võnkumine on lähemate võnkumistest hilisem ning kui hilinemine on võrdne ühe võnkeperioodiga, võnguvad punktid samas taktis ehk samas faasis. Neis punktides on kogu aeg võnkumise hälve ja kiiruse suurus ning suund ühesugused. Nii on lainepikkus võrdne näiteks kahe naaberlaineharja vahekaugusega, sest kõikides harja punktides on hälve ühtviisi maksimaalne ja osakeste kiirus null. Täpselt samamoodi on lainepikkusega võrdne lainenõgude vaheline kaugus.

Lainepikkust tähistatakse tavaliselt kreeka tähega $\lambda$ (lambda) ning selle mõõtühikuks on meeter.

Teiseks iseloomustab võnkumise edasikandumist laine levimiskiirus. Teame, et kiirus on võrdne nihke pikkuse ja aja jagatisega:

v=ts

Võttes aja võrdseks võnkeperioodiga $T$ , jõuab võnkumine selle ajaga edasi kanduda ühe lainepikkuse võrra. Vastab ju ühele lainepikkusele üks täisvõnge. Nii saame laine levimiskiirust väljendada lainet iseloomustavate suuruste kaudu järgmiselt:

v=Tλ=λf

Lainet iseloomustavad suurused

Sarnaselt võnkumisega iseloomustavad lainet võnkeamplituud, periood ja sagedus.

Lainepikkus

Lainepikkuseks nimetatakse kaugust kahe teineteisele lähima samas taktis võnkuva punkti vahel.

Laine levimiskiirus

Laine levimiskiiruseks on laine maksimumi levimise kiirus.

Loetle kõik laineid iseloomustavad suurused.

Solution

Üksteisest 9 meetri kaugusel asetsevad merelained jõuavad kaldale 12-sekundiliste vahedega. Arvuta lainete levimiskiirus.

Solution

Mõõtmised näitasid, et 440 Hz sagedusega võnkuv helihark tekitas õhus 75 cm pikkused lained. Kui suur oli heli levimiskiirus?

Solution

Inimene kuuleb helisid sagedusvahemikus 16 − 20 000 Hz. Milline on neile piirsagedustele vastavate helilainete pikkus? Heli levimiskiirus temperatuuril 20 ºC on 343 m/s.

Solution

Ühtlases keskkonnas levib laine sirgjooneliselt.

Kui keskkond on ühtlane ning häirivaid tegureid pole, siis levib laine sirgjooneliselt. Keskkonna muutused ja teele jäävad takistused muudavad ka levimist ning kutsuvad esile täiendavaid nähtusi. Et sellised nähtused kaasnevad vaid lainetega ega saa muudel juhtudel aset leida, on nende esinemine tõestuseks sellest, et tegemist on just lainega.

Kõik me oleme kokku puutunud sellise nähtusega nagu kaja. Kui hõigata mägedes või metsaäärsel lagedal, siis kuuleme enda tekitatud heli hetke pärast uuesti. Mõnes suures ruumis võib heli üsna kauaks kõlama jääda. Tegemist on helilainete peegeldumisega.

Peegeldumine on laine tagasipöördumine keskkondade lahutuspinnalt.

Peegelduvad kõik lained sõltumata liigist. Laine peegeldub siis, kui jõuab teistsuguse keskkonnani. Näiteks merelaine jõuab kaljuni või valguslained satuvad kuuma ja külma õhu piirile. Peegeldumine toimub kahe erineva keskkonna lahutuspinnalt.

Seejuures pole tähtis, mis ainest ja millises olekus need keskkonnad on. Peaasi, et need on erinevad. Peegeldumise tunnuseks on see, et kohates teist keskkonda, pöördub laine esialgsesse tagasi. Peegeldumiseks nimetatakse laine tagasipöördumist kahe keskkonna lahutuspinnalt lähtekeskkonda.

Lainete peegeldumisel kehtib seaduspärasus, et pinnanormaali (pinna ristsirge) suhtes mõõdetud langemisnurk ja peegeldumisnurk on võrdsed.

Ultrahelilainete peegeldumist kasutavad näiteks nahkhiired pimedas orienteerumisel ning arstid siseorganite uurimisel.

Jõudes teise keskkonda, võib laine selles edasi levida. Seejuures levimissuund sageli muutub. Tegemist on laine murdumisega. Laine murdumiseks nimetatakse laine levimissuuna muutumist ühest keskkonnast teise üleminekul. Murdumine toimub sarnaselt peegeldumisega erinevate keskkondade lahutuspinnal.

Murdumist põhjustab levimiskiiruste erinevus

Murdumise põhjuseks on laine levimiskiiruse erinevus keskkondades. Laine pöördub selle keskkonna poole, kus levimiskiirus on väiksem. Sarnane suunamuutus võib juhtuda suure kiirusega sõitva auto kaldumisel teeserva. Kui auto parempoolsed rattad satuvad pehmele teepeenrale ning pidurduvad ja vasakpoolsed jätkavad samas endise hooga, pöörab auto paremale kraavi.

Lainete murdumisel kehtib seaduspärasus, et keskkondade lahutuspinna normaali suhtes mõõdetud langemis- ja murdumisnurkade siinuste suhe on võrdne levimiskiiruste suhtega.

Kui vette visata korraga kaks kivi, hakkavad lained mõlemast kukkumispaigast mööda veepinda ringidena laiali levima. Kohtumisel need erinevatest allikatest lähtunud lained liituvad ja veepinnal tekib uus lainepilt, mis erineb piltidest, mille tekitanuks kumbki kivi eraldi visatult. Siin on tegemist lainete interferentsiga (ld inter + ferîre 'vahel + mõjuma'). Interferentsiks nimetatakse nähtust, kus kahe või enama laine liitumisel tekib uus laine, mille kuju on erinev liituvate lainete kujust. Interferents avaldub selles, et mõnes keskkonna punktis lained liitumisel võimendavad üksteist, teistes aga nõrgendavad. Tulemuseks on see, et mõnes kohas toimub võnkumine suure amplituudiga, teisal jälle väiksema amplituudiga või puudub sootuks. Interferentsi korral tekib ruumis võnkumiste püsiv jaotus amplituudi järgi. Interferents jaotab lainete energia ruumis ringi.

Interferents ei teki siiski igasuguste lainete liitumisel. Kõik teavad, et koori esituses kõlab laul alati valjemini kui solisti suust. Erinevate lauljate tekitatud helilained ei nõrgenda üksteist mitte kunagi. Interferentsi tekkimiseks peavad lained olema sama sagedusega ning võnkumisfaaside erinevus ei tohi muutuda. Teisisõnu – erinevate lainete allikad peavad võnkuma muutumatult ühtmoodi. Sagedused peavad olema võrdsed ja ühe allika võnkumine ei tohi teise suhtes muutuda.

Kui kaks lainet on kohtumisel samas faasis (võnkumine on samas taktis), siis täiendavad need liitumisel teineteist ja amplituud kasvab. Sel juhul on tegemist interferentsimaksimumiga. Vastandfaasis lainete puhul kohtub ühe laine hari teise nõoga ning lained kustutavad teineteist. Amplituud väheneb ning tegemist on interferentsimiinimumiga.

Samas faasis liituvad lained võimenduvad.

Vastandfaasis liituvad lained nõrgenevad.

Lained võivad oma teel kohata suuremaid ja väiksemaid tõkkeid. Näiteks jäävad merelainete ette erineva suurusega kivid ning sadade meetrite pikkused laiud. Väikeste tõkete taha pääsevad lained kergesti, suuremate taga on vesi aga rahulik, seal on vari.

Siin on tegemist nähtusega, mis leiab aset igasuguste lainete korral. Nimelt osutub, et lained on võimelised tõkete taha painduma. Seejuures pääsevad lained vaid nende tõkete taha, mille mõõtmed on lainepikkusest väiksemad või sellega võrreldavad.

Tegemist on difraktsiooniga (ld diffrâctus 'murdunud, paindunud'). Difraktsiooniks nimetatakse nähtust, kus lained painduvad tõkete taha. Tänu difraktsioonile kuuleme tänaval sõitva auto mootorimüra ka majanurga taha. Helilained painduvad tõkkeks oleva majanurga juures otsesihist kõrvale.

Difraktsioon avaldub ilmekalt, kui veepinnal levivaid laineid tõkestada ekraaniga, milles on kitsas pilu. Lained levivad siis läbi pilu rõngastena ekraani taha.

Lained painduvad tõkke taha.

Lained levivad läbi pilu rõngastena ekraani taha.

Lainete peegeldumine

Peegeldumiseks nimetatakse laine tagasipöördumist kahe keskkonna lahutuspinnalt lähtekeskkonda.

Lainete murdumine

Laine murdumiseks nimetatakse laine levimissuuna muutumist ühest keskkonnast teise üleminekul.

Lainete interferents

Interferentsiks nimetatakse nähtust, kus kahe või enama laine liitumisel tekib uus laine, mille kuju on erinev liituvate lainete kujust.

Lainete difraktsioon

Difraktsiooniks nimetatakse nähtust, kus lained painduvad tõkete taha.

Muusikud väidavad, et tühjas kontserdisaalis proovi tehes ja samas saalis publikule esinedes kõlab muusika erinevalt. Millest on see tingitud?

Solution

Kuidas saab peegeldumist kasutada merepõhja sügavuse mõõtmisel?

Solution

Panga panga juures Saaremaal Mustjala vallas võib täheldada nähtust, kus merelained muudavad veealuse astangu kohale jõudes levimissuunda. Millest see tingitud on?

Solution

Too näiteid valguslainete murdumise kohta.

Solution

Kui kahest sama sagedusega helisevast helihargist hakata üht eemale nihutama, on kuuldav heli vaheldumisi nõrgenev ja valjenev. Selgita seda nähtust.

Solution

Miks ehitatakse sadamad lahesoppidesse ja eraldatakse avamerest sageli veel muulide abil?

Solution

Miks läbi akna välja kostvast muusikast on paremini kuulda just madalamad, pikemalainelised helid?

Solution

Kuidas koguda merelainete energiat?

Eesti on mereriik. Eestlased hoolivad väga oma keskkonnast ja otsivad võimalusi katta oma energiavajadust taastuvenergia arvelt. Kas üks võimalus energiat saada võiks olla kasutada ära laineenergiat?

Füüsika aitab sellistele küsimustele vastata. Sest lisaks täpsetele arvutustele, mida saab kasutada lihtsate füüsikaliste süsteemide kirjeldamiseks ja mida kohtame koolifüüsikas, suudab füüsika anda ka teaduspõhiseid hinnanguid keerukate süsteemide käitumisele.

Laineenergia kasutamisest räägib David J. C. MacKay raamat „Sustainable Energy – without the hot air“ (taastuvenergiast ilma udujututa). Toome siia ära katke tema teosest. Kas sellist käsitlust annaks ka Eesti kontekstis kasutada?

[£[233837|vahetekst]£]

Kuidas me teeme vahet puidust ja puidu imitatsioonist tehtud seinal? Me koputame seina, st paneme selle võnkuma ja kuulatame. Et teada saada, kas tegemist on tühja või täis bensiinitünniga, pole vaja korki lahti keerata. Aitab koputusest tünni seinale ja on selge, millega tegu.

Kuidas saab teada, mis toimub Maa sügavustes? Samamoodi – tuleb koputada ja kuulata, mis vastu kajab.

Maad me tegelikult ei pea ise koputama, piisab maavärinatest tekkinud tõugete kuulamisest. Sest maas levivad lained üsna samamoodi, nagu atmosfääris.

Kõrvaloleval pildil on näha, et maavärina epitsentris moodustuvad lained ei jõua igal pool Maa teisele küljele. Maa tuum tekitab varju, nii et kui on teada maavärina toimumise koht ning seismojaamade võrgustik annab piisavalt tihedalt andmeid maapinna võnkumiste kohta, saab selle järgi teada Maa tuuma suuruse. Enamgi veel – pildil on näha, et lained ei levi läbi Maa otse, vaid nad murduvad. Lainete murdumine on sarnane sellega, mida õppisime põhikooli valgusõpetuses – nii nagu muutub valguskiire suund, kui see levib hõredamast (väikese tihedusega) keskkonnast tihedamasse (suurema tihedusega keskkonda), muutub ka laine suund. Seetõttu saame maavärina lainete levides andmeid ka Maa kihilise sisestruktuuri kohta.

Maa võnkumiste füüsika on keerulisem ja mitmekesisem, kui siin kirjeldasime, aga ehk saite veidi aimu sellest põnevast füüsika ja geograafia puutepunktist.

Aga kuidas saaks teada, mis on Kuu sees? Maavärinaid asendavad seal meteoorid. Seismojaamad toimetati sinna erinevatel kuumissioonidel.

Kuidas uurida Kuud?

11. aprilil 1970. aastal startis Apollo 13 missioon. Selle kanderakett Saturn V koosnes kolmest astmest. Esimene ja teine aste kukkusid pärast kütuse ärapõlemist tagasi Maale, aga kolmandat astet (S-IVB) kasutati teenindusmooduli, juhtmooduli ja kuumoo

Gravitatsioonilained on massi liikumisega kaasnevad aegruumi võnked, mis levivad tekkeallikast lainetena. Gravitatsioonilainete olemasolu ennustas üldrelatiivsusteooria põhjal Albert Einstein 1916. aastal.

Mida gravitatsioonilaine „teeb“? Ehkki piltidel kujutatakse neid laineid tavaliselt samamoodi nagu veelaineid, siis tegelikult ei kõigu gravitatsioonilaine peal olev objekt üles-alla, vaid objekti pikkus muutub hoopis gravitatsioonilainete levimise suunas risti. See tähendab, et näiteks gravitatsioonilaines olev pall muutub õige pisut loperguseks.

Siit ka idee, et gravitatsioonilainete avastamiseks tuleb võrrelda mingi objekti mõõtmeid kahes ristuvas suunas. Kui objekti kuju muutub, siis on põhjust andmeid uurida. Gravitatsioonilainete mõõtmiseks ehitati USAs laserinterferomeetri-gravitatsioonilainete observatoorium LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory), mis moodustub kahest ristuvast 4 km pikkusest õlast.

Gravitatsioonilainete tekkimine ja nende uurimine.

Gravitatsioonilained läbivad pidevalt Maad, kuid isegi kõige tugevamatel neist on imeväike mõju ning nende allikad on üldiselt kaugel. Näiteks 14. septembril 2015. aastal tuvastati signaal, mida hakati nimetama sündmuseks GW150914. Sündmus ise oli see, et Maale jõudsid lained, mis tekkisid kahe musta augu liitumisest üle miljardi valgusaasta tagasi ning muutsid 4 km LIGO õla pikkust prootoni 1/10000 laiuse võrra. See muutus on samaväärne lähima galaktika kauguse muutusega ühe millimeetri võrra. Isegi äärmuslike gravitatsioonilainete toime on väga väike ning neid on võimalik märgata ainult keerukate detektorite abil.

Nüüdseks on sündmuseid registreeritud juba märksa rohkem.

Sündmus GW150914 ehk kahe musta augu ühinemisel tekkinud gravitatsioonilained.

Oskate ehk arvata, mida sellises olukorras kõige põnevam proovida oleks?

Mehaanika: dünaamika, perioodilised liikumised

Mehaanika: dünaamika, perioodilised liikumised

Eessõna

1Dünaamika

1.1.1Sissejuhatus

1.2Vastastikmõju ja selle kirjeldamine

1.2.1Vastastikmõju

Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha.

1.2.2Jõud

Jõud on vektor.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

Solution

Solution

1.3Resultantjõud ja Newtoni esimene seadus

1.3.1Jõudude liitmine

Samasihiliste jõudude liitmisel nende väärtused kas liidetakse või lahutatakse.

1.3.2Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus

Inglise füüsik Isaac Newton (1642 – 1726), kes oma uuringutele tuginedes sõnastas mehaanika kolm põhiseadust. Neid seadusi tuntakse tänapäeval Newtoni seaduste nime all.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

1.4Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

1.4.1Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

Kiirendus sõltub keha inertsusest.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

1.5Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

1.5.1Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

Kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

Solution

1.6Keha impulss ja impulsi jäävuse seadus

1.6.1Liikumishulk ehk impulss

Impulss on vektor

Sumomaadleja Kaido Höövelson valmistub võitluseks. Tema impulss esmasel kokkupõrkel on võrdeline tema massi ja kiiruse korrutisega.

1.6.2Liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus

Õun ja Maa mõjutavad teineteist ühesuuruste vastassuunaliste jõududega.

Impulsi jäävuses võib igaüks ise veenduda, kui astub kinniköitmata paadist kaldale.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

Solution

Solution

Solution

Solution

Solution

1.7Reaktiivliikumine

1.7.1Reaktiivliikumine

Reaktiivliikumine tekib, kui kehast osa eemale paisatakse.

Rakett hakkab liikuma tänu gaaside väljapaiskamisele.

Heroni aurumasin.

Ratastel sõiduki maismaa kiirusrekordit hoiab kahe reaktiivmootoriga rakettauto ThrustSSC, mis ületas 1997. a 15. oktoobril helibarjääri ja saavutas kiiruse 1227,9 km/h.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

Solution

1.8Gravitatsioonijõud ja gravitatsiooniseadus

Legend Newtoni õunast.

Kukkuva õuna trajektoorid erinevate algkiiruste korral.

Maa ja õuna tõmbumist kirjeldab ülemaailmne gravitatsiooniseadus.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

Solution

Solution

Solution

1.9Raskusjõud, kaal ja kaalutus

1.9.1Raskusjõud

Maa raadius

Raskusjõud F = mg

Kõrguse kasvades raskusjõud väheneb.

1.9.2Kaal ja kaalutus

Kaal on jõud, millega keha mõjutab alust või riputusvahendit.

Vabalt langevad kehad on kaaluta olekus.

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

Solution

1
Dünaamika

1.1.1
Sissejuhatus

1.2
Vastastikmõju ja selle kirjeldamine

1.2.1
Vastastikmõju

1.2.2
Jõud

1.3
Resultantjõud ja Newtoni esimene seadus

1.3.1
Jõudude liitmine

1.3.2
Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus

1.4
Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

1.4.1
Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

1.5
Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

1.5.1
Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

1.6
Keha impulss ja impulsi jäävuse seadus

1.6.1
Liikumishulk ehk impulss

1.6.2
Liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus

1.7
Reaktiivliikumine

1.7.1
Reaktiivliikumine

1.8
Gravitatsioonijõud ja gravitatsiooniseadus

1.9
Raskusjõud, kaal ja kaalutus

1.9.1
Raskusjõud

1.9.2
Kaal ja kaalutus

1.10
Gravitatsioon ja ilmaruum

1.10.1
Elu ilma gravitatsioonita?

1.10.2
Kuulooded

1.10.3
Mustad augud ja ussiurked

1.10.4
Tähtede teke

1.11
Rõhumisjõud, rõhk ja toereaktsioon

1.12
Hõõrdejõud

1.12.1
Seisu- ja liugehõõrdumine

1.12.2
Hõõrdetegur

1.12.3
Hõõrdejõu muutmine

1.13
Elastsusjõud

1.13.1
Deformatsioon

1.13.2
Elastsusjõud

1.13.3
Hooke’i seadus